Ajuda Matemática

Como derivar 1 + x + x² + x³ / 1- x +x² - x³ =

Eu não consegui derivar essa divisão.
Quem souber resolver, eu agradeço

Por favor, tenha mais cuidado ao digitar as notações matemáticas!

Note que o texto "1 + x + x² + x³ / 1- x +x² - x³" é o mesmo que:
$1 + x + x^2 + \frac{x^3}{1} - x +x^2 - x^3$

Ao que parece, você quer a seguinte expressão:
$\frac{1 + x + x^2 + x^3}{1 - x +x^2 - x^3}$

Nesse caso, você deveria ter escrito algo como: "(1 + x + x² + x³)/(1- x +x² - x³)". Note que o uso dos delimitadores de forma adequada é fundamental!

Agora, organizando mais um pouco, você quer derivar a função:
$f(x) = \frac{1 + x + x^2 + x^3}{1 - x +x^2 - x^3}$

Para isso, basta aplicar a regra do quociente:
$f^\prime(x) = \frac{(1 + x + x^2 + x^3)^\prime(1 - x +x^2 - x^3) - (1 + x + x^2 + x^3)(1 - x +x^2 - x^3)^\prime}{(1 - x +x^2 - x^3)^2}$

$f^\prime(x) = \frac{(1 + 2x + 3x^2)(1 - x +x^2 - x^3) - (1 + x + x^2 + x^3)(-1+2x - 3x^2)}{(1 - x +x^2 - x^3)^2}$

$f^\prime(x) = \frac{2x^4 + 4x^2 + 2}{(1 - x +x^2 - x^3)^2}$

$f^\prime(x) = \frac{2(x^2 + 1)^2}{[-(x-1)(x^2+1)]^2}$

$f^\prime(x) = \frac{2}{(x-1)^2}$

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