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Integral em coordenadas esféricas

Integral em coordenadas esféricas

Mensagempor bruna106 » Sáb Abr 09, 2011 15:22

Olá Boa Tarde

Estou tentando resolver um exercício mas o resultado não confere com o do livro. Se alguém puder me ajudar
eu ficarei muito grata.

**** A questão com a figura e resposta está em anexo ****

Para calcular o volume tentei fazer assim:

Limites:
0\leq\theta\geq\frac{3\pi}{2}
0\leq\phi\geq\frac{\pi}{2}
2\leq\rho\geq\ 5

\int_{0}^{\frac{3\pi}{2}} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{2}^{5} (50 -\frac{100}{{\rho}^{2}}).{\rho}^{2}sen\phi d\rho d\phi d\theta
\int_{0}^{\frac{3\pi}{2}} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{2}^{5} 50{\rho}^{2}sen\phi - 100sen\phi d\rho d\phi d\theta
\int_{0}^{\frac{3\pi}{2}} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{50{\rho}^{3}sen\phi}{3} - 100\rho sen\phi d\phi d\theta
\int_{0}^{\frac{3\pi}{2}} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{950 sen\phi}{3} - 300sen\phi d\phi d\theta
\int_{0}^{\frac{3\pi}{2}} \frac{-950 cos\phi}{3} + 300scos\phi d\theta

Parei por aqui pois quando substitui meus limites de phi notei que o resultado seria muito próximo de zero e conseqüentemente nÃo resultará no valor correto.
Não sei se meus limites estão errados ou se integrei algo errado. Alguém pode me ajudar por favor?

Muito Obrigada
Anexos
calculo.jpg
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Re: Integral em coordenadas esféricas

Mensagempor LuizAquino » Seg Abr 11, 2011 11:04

A casca esférica no exercício pode ser representada pela região em coordenadas esféricas:

R = \left\{(\rho,\, \theta,\, \phi) \,|\, 2\leq \rho \leq 5,\, \frac{\pi}{2}\leq \theta \leq 2\pi,\, 0 \leq \phi \leq \frac{\pi}{2}\right\}

O volume dessa região será dada pela integral tripla (em coordenadas esféricas):
V = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{\frac{\pi}{2}}^{2\pi} \int_{2}^{5} \rho^2\textrm{sen }\phi\, d\rho d\theta d\phi

O exercício diz que a temperatura (em coordenadas esféricas) da região é dada por T(\rho,\, \theta,\, \phi) = 50 - \frac{100}{\rho^2} (em graus Celsius).

Desse modo, a temperatura média sobre essa região será:
\overline{T} = \frac{1}{V}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{\frac{\pi}{2}}^{2\pi} \int_{2}^{5} T(\rho,\, \theta,\, \phi)\rho^2\textrm{sen }\phi\, d\rho d\theta d\phi

Agora, refaça o exercício considerando essas informações.
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Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: zig - Sex Set 23, 2011 13:57

{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[5]}{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[2]{5}}


Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: Vennom - Sex Set 23, 2011 21:41

zig escreveu:{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[5]}{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[2]{5}}


Rpz, o negócio é o seguinte:
Quando você tem uma potência negativa, tu deve inverter a base dela. Por exemplo: {\frac{1}{4}}^{-1} = \frac{4}{1}

Então pense o seguinte: a fração geratriz de 0,05 é \frac{1}{20} , ou seja, 1 dividido por 20 é igual a 0.05 . Sendo assim, a função final é igual a vinte elevado à meio.
Veja: {0,05}^{-\frac{1}{2}} = {\frac{1}{20}}^{-\frac{1}{2}} = {\frac{20}{1}}^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{20}

A raiz quadrada de vinte, você acha fácil, né?

Espero ter ajudado.


Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: fraol - Dom Dez 11, 2011 20:23

Nós podemos simplificar, um pouco, sqrt(20) da seguinte forma:

sqrt(20) = sqrt(4 . 5) = sqrt( 2^2 . 5 ) = 2 sqrt(5).

É isso.


Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: fraol - Dom Dez 11, 2011 20:24

Nós podemos simplificar, um pouco, \sqrt(20) da seguinte forma:

\sqrt(20) = \sqrt(4 . 5) = \sqrt( 2^2 . 5 ) = 2 \sqrt(5).

É isso.