• Anúncio Global
    Respostas
    Exibições
    Última mensagem

Integral em coordenadas esféricas

Integral em coordenadas esféricas

Mensagempor bruna106 » Sáb Abr 09, 2011 15:22

Olá Boa Tarde

Estou tentando resolver um exercício mas o resultado não confere com o do livro. Se alguém puder me ajudar
eu ficarei muito grata.

**** A questão com a figura e resposta está em anexo ****

Para calcular o volume tentei fazer assim:

Limites:
0\leq\theta\geq\frac{3\pi}{2}
0\leq\phi\geq\frac{\pi}{2}
2\leq\rho\geq\ 5

\int_{0}^{\frac{3\pi}{2}} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{2}^{5} (50 -\frac{100}{{\rho}^{2}}).{\rho}^{2}sen\phi d\rho d\phi d\theta
\int_{0}^{\frac{3\pi}{2}} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{2}^{5} 50{\rho}^{2}sen\phi - 100sen\phi d\rho d\phi d\theta
\int_{0}^{\frac{3\pi}{2}} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{50{\rho}^{3}sen\phi}{3} - 100\rho sen\phi d\phi d\theta
\int_{0}^{\frac{3\pi}{2}} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{950 sen\phi}{3} - 300sen\phi d\phi d\theta
\int_{0}^{\frac{3\pi}{2}} \frac{-950 cos\phi}{3} + 300scos\phi d\theta

Parei por aqui pois quando substitui meus limites de phi notei que o resultado seria muito próximo de zero e conseqüentemente nÃo resultará no valor correto.
Não sei se meus limites estão errados ou se integrei algo errado. Alguém pode me ajudar por favor?

Muito Obrigada
Anexos
calculo.jpg
bruna106
Novo Usuário
Novo Usuário
 
Mensagens: 8
Registrado em: Dom Abr 20, 2008 21:47
Área/Curso: Estudante
Andamento: cursando

Re: Integral em coordenadas esféricas

Mensagempor LuizAquino » Seg Abr 11, 2011 11:04

A casca esférica no exercício pode ser representada pela região em coordenadas esféricas:

R = \left\{(\rho,\, \theta,\, \phi) \,|\, 2\leq \rho \leq 5,\, \frac{\pi}{2}\leq \theta \leq 2\pi,\, 0 \leq \phi \leq \frac{\pi}{2}\right\}

O volume dessa região será dada pela integral tripla (em coordenadas esféricas):
V = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{\frac{\pi}{2}}^{2\pi} \int_{2}^{5} \rho^2\textrm{sen }\phi\, d\rho d\theta d\phi

O exercício diz que a temperatura (em coordenadas esféricas) da região é dada por T(\rho,\, \theta,\, \phi) = 50 - \frac{100}{\rho^2} (em graus Celsius).

Desse modo, a temperatura média sobre essa região será:
\overline{T} = \frac{1}{V}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{\frac{\pi}{2}}^{2\pi} \int_{2}^{5} T(\rho,\, \theta,\, \phi)\rho^2\textrm{sen }\phi\, d\rho d\theta d\phi

Agora, refaça o exercício considerando essas informações.
professoraquino.com.br | youtube.com/LCMAquino | @lcmaquino

"Sem esforço, não há ganho."
Dito popular.
Avatar do usuário
LuizAquino
Colaborador Moderador - Professor
Colaborador Moderador - Professor
 
Mensagens: 2654
Registrado em: Sex Jan 21, 2011 09:11
Localização: Teófilo Otoni - MG
Formação Escolar: PÓS-GRADUAÇÃO
Área/Curso: Mestrado - Modelagem Computacional
Andamento: formado


Voltar para Cálculo: Limites, Derivadas e Integrais

 



  • Tópicos relacionados
    Respostas
    Exibições
    Última mensagem

Quem está online

Usuários navegando neste fórum: Nenhum usuário registrado e 25 visitantes

 



Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}