Integral apenas inteiros

por **0 kelvin** » Ter Mar 22, 2011 19:47

Um dos primeiros exercicios do livro Apostol para fazer é $\int_{-1}^{3}[x]dx$ e diz que [x] representa um inteiro menor ou igual a x.

Entendi o gráfico da função escada que fica assim http://www.wolframalpha.com/input/?i=in ... rt+of+x%29 somando as áreas dá 2. Mas a resposta não precisa do gráfico, ou pelo menos esta dizendo para calcular sem mencionar o gráfico.

Então sem o gráfico: entendi que tem que "jogar" -1 e 3 no x, daí vem a sequência -1, 0, 1, 2 e 3 que são os valores que a função assume nesse intervalo. Depois disso, seguindo o raciocínio do Apostol, tem que visualizar as partições (segmentos como no gráfico aí em cima). Assumindo que é uma função f(x) = x (o gráfico fica sendo a reta que passa pela origem e tem y = x para todos os pontos, vi isso com o grupo de estudos. Da reta da função vem os pontos da função escada, fechada a esquerda e aberta a direita). A parte mais complicada esta sendo a notação. Os intervalos, por exemplo o primeiro, fica $-1 \le x < 0$ . A função vale -1 nesse ponto e tem "base da partição" -1 tambem. Daí a soma, tem o símbolo da somatória, ou o professor disse q tb pode escrever $\text{S}_{\text{n}} =$ . As partições escreve base x altura ou altura x base, tanto faz? Na notação do grupo de estudos ficou $\text{S}_{\text{n}}$ = -1 . (0 -(-1)) + 0 . (-1 . 0) + 1 . (2 - 1) + 2 . (3 - 2)

Sobre o Apostol: até essa parte de funções fáceis de integrar esta bem, nada muito dificil.

por **LuizAquino** » Ter Mar 22, 2011 21:16

Primeiro, temos que esclarecer as definições.

Usualmente, a notação [x] representa o maior inteiro que seja menor ou igual a x. Uma outra notação é $\lfloor x \rfloor$ .

No livro de Cálculo do Apostol (volume 1) parece que ele define isso como sendo a mesma coisa que a "parte inteira de x". Mas, veja que isso só se aplica para números positivos! Por exemplo, note que a parte inteira de -0,5 é 0. Por outro lado, -1 é o maior número inteiro que é menor ou igual a -0,5, isto é, [-0,5] = -1.

O gráfico da função f(x)=[x] no intervalo [-1, 3] está representado abaixo.

: função-chao.png (1.88 KiB) Exibido 2616 vezes

Vale lembrar que essa função também é conhecida como função "chão" ou "piso" (ou ainda floor, em inglês).

Leia mais a respeito na Wikipédia:
Parte inteira
http://pt.wikipedia.org/wiki/Parte_inteira

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