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como poderia resolver por limites?

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Mensagempor ronaldy » Seg Set 08, 2008 16:22

O n° Pi pode ser definido como sendo o limite quando n tende ao infinito da área de um polígono regular de 2 ( elevado a n) lados inscrito em uma circulo de raio 1.Mostrar que a seqüência desses áreas tomando n = 2,3,4..... é monótona, crescente e limitada e use-a para determinar o valor de Pi, aproximadamente. Por favor, me ajudem a responder!
Meu email: giapeto10@yahoo.com.br
desde já gradeço
ronaldy
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Re: como poderia resolver por limites?

Mensagempor fabiosousa » Ter Set 09, 2008 17:41

Olá ronaldy, boas-vindas!

Primeiro, revise como obter a área de um polígono regular de N lados (N em letra maiúscula para não confundir com o n do enunciado, pois N=2^n).

Você verá que será necessário considerar o apótema que é a distância perpendicular de um dos lados do polígono até o seu centro.

Para visualizar, divida alguns polígonos regulares em triângulos isósceles e, por Pitágoras, escreva a medida do lado em função do apótema.

Depois, na expressão da área (que deverá estar em função do apótema e do número de lados N), reescreva o apótema somente em função de N (já que a circunferência possui raio unitário).

Assim, com a expressão da área para os polígonoes regulares, somente em função de N, você poderá representar alguns elementos da seqüência e prosseguir com sua análise.

Por favor, colabore com as regras para participação no fórum.


Bons estudos!
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Re: como poderia resolver por limites?

Mensagempor ronaldy » Ter Set 09, 2008 21:44

Fabio sousa Nem sei como agradeçer! foi uma força e tanto!
As vezes são pequenos detalhes que não estamos acostumados a raciocinar talvez por muitas vezes ter uma visão muito estreita dos problemas! Agradeço! E se tiver algo que possa ajudar estou aqui.
O que seria bom?
divulgar o site?
tem algum fundo para ajudar o site?
abraço!
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Re: como poderia resolver por limites?

Mensagempor fabiosousa » Ter Set 09, 2008 21:57

Olá ronaldy, boa noite!
Fico feliz por ter ajudado.

Por enquanto ainda não compartilhamos as despesas. :-D
Agradecemos qualquer divulgação, embora, você deve ter percebido, o objetivo aqui não seja resolver exercícios, mas, compartilhar idéias favorecendo o estudo.

Até mais!
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Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Dom Jan 17, 2010 14:42

Não sei onde este tópico se encaixaria. Então me desculpem.
Eu não entendi essa passagem, alguém pode me explicar?
2n \geq n+1 ,\forall n \in\aleph*
O livro explica da seguinte forma.
1°) P(1) é verdadeira, pois 2.1 \geq 1+1
2°) Admitamos que P(k), k \in \aleph*, seja verdadeira:
2k \geq k+1 (hipótese da indução)
e provemos que 2(k+1) \geq (K+1)+1
Temos: (Nessa parte)
2(k+1) = 2k+2 \geq (k+1)+2 > (k+1)+1


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Seg Jan 18, 2010 01:55

Boa noite Fontelles.

Não sei se você está familiarizado com o Princípio da Indução Finita, portanto vou tentar explicar aqui.

Ele dá uma equação, no caso:

2n \geq n+1, \forall n \in \aleph^{*}

E pergunta: ela vale para todo n? Como proceder: no primeiro passo, vemos se existe pelo menos um caso na qual ela é verdadeira:

2*1 \geq 1+1

Portanto, existe pelo menos um caso para o qual ela é verdadeira. Agora, supomos que k seja verdadeiro, e pretendemos provar que também é verdadeiro para k+1.

\mbox{Suponhamos que P(k), }k \in \aleph^{*},\mbox{ seja verdadeiro:}
2k \geq k+1

\mbox{Vamos provar que:}
2(k+1) \geq (k+1)+1

Daí pra frente, ele usou o primeiro membro para chegar em uma conclusão que validava a tese. Lembre-se: nunca saia da tese.

Espero ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Seg Jan 18, 2010 02:28

Mas, Fantini, ainda fiquei em dúvida na passagem que o autor fez (deixei uma msg entre o parêntese).
Obrigado pela ajuda, mesmo assim.
Abraço!


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Qui Jan 21, 2010 11:32

Galera, ajuda aí!
Por falar nisso, alguém conhece algum bom material sobre o assunto. O livro do Iezzi, Matemática Elementar vol. 1 não está tão bom.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Jan 21, 2010 12:25

Boa tarde Fontelles!

Ainda não estou certo de qual é a sua dúvida, mas tentarei novamente.

O que temos que provar é isso: 2(k+1) \geq (k+1)+1, certo? O autor começou do primeiro membro:

2(k+1)= 2k+2

Isso é verdadeiro, certo? Ele apenas aplicou a distributiva. Depois, partiu para uma desigualdade:

2k+2 \geq (k+1)+2

Que é outra verdade. Agora, com certeza:

(k+1)+2 > (k+1)+1

Agora, como 2(k+1) é \geq a (k+1)+2, e este por sua vez é sempre > que (k+1)+1, logo:

2(k+1) \geq (k+1)+1 \quad \mbox{(c.q.d)}

Inclusive, nunca é igual, sempre maior.

Espero (dessa vez) ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Caeros - Dom Out 31, 2010 10:39

Por curiosidade estava estudando indução finita e ao analisar a questão realmente utilizar a desigualdade apresentada foi uma grande sacada para este problema, só queria tirar uma dúvida sobre a sigla (c.q.d), o que significa mesmo?


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: andrefahl - Dom Out 31, 2010 11:37

c.q.d. = como queriamos demonstrar =)


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Abelardo - Qui Mai 05, 2011 17:33

Fontelles, um bom livro para quem ainda está ''pegando'' o assunto é:'' Manual de Indução Matemática - Luís Lopes''. É baratinho e encontras na net com facilidade. Procura também no site da OBM, vais encontrar com facilidade material sobre PIF... em alguns sites que preparam alunos para colégios militares em geral também tem excelentes materiais.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Mai 05, 2011 20:05

Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Vennom - Qui Abr 26, 2012 23:04

MarceloFantini escreveu:Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.

Rpz, faz um ano que o fulano não visita o site, mas ler esse comentário dele enquanto respondia a outro tópico me ajudou. hAUEhUAEhUAEH obrigado, Marcelo. Sua explicação de indução finita me sanou uma dúvida sobre outra coisa. :-D