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Volume de sólido

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Mensagempor Manoella » Seg Fev 21, 2011 23:41

Como faço para encontrar o volume de revolução da região R em torno do eixo indicado:

R= {(x,y) \epsilonIR tal que 0 \leq x \leq\pi y \leq cox \frac{x}{2}}: o eixo é 0y
Aguardo ajuda.
Manoella
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Re: Volume de sólido

Mensagempor LuizAquino » Ter Fev 22, 2011 11:38

Manoella escreveu:Como faço para encontrar o volume de revolução da região R em torno do eixo indicado:

R= \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | 0 \leq x \leq\pi,\,y \leq \cos \frac{x}{2}\}: o eixo é 0y


A situação está ilustrada na figura abaixo.
volume.png
volume.png (6.72 KiB) Exibido 2037 vezes


Girando a região R ao redor do eixo y, o volume V gerado possui cada seção transversal dada por um círculo de raio x. Sabemos que se y = \cos \frac{x}{2}, então x = 2\cos^{-1} y (onde \cos^{-1} representa a função inversa do cosseno, isto é, o arco-cosseno). Portanto, a área de cada seção transversal será dada por A(y)=4(\cos^{-1}y)^2\pi.

Dessa maneira, o volume do sólido será dado por:
V = \int_0^1 A(y)\,dy = 4\pi\int_0^1 (\cos^{-1}y)^2\,dy

O maior trabalho será resolver essa integral. Você pode começar fazendo por partes:
u = \cos^{-1} y \; \Rightarrow \; du = -\frac{1}{\sqrt{1-y^2}}\,dy

dv = \cos^{-1} y \, dy\; \Rightarrow \; v =  y\cos^{-1}y - \sqrt{1-y^2}\,dy

V = 4\pi \int (\cos^{-1} y)^2 \,dy = 4\pi(\cos^{-1} y)(y\cos^{-1}y - \sqrt{1-y^2}) - 4\pi\int  \left(-\frac{1}{\sqrt{1-y^2}}\right)(y\cos^{-1}y - \sqrt{1-y^2})\, dy

Arrumando a segunda integral (que eu vou chamar de I), nós temos:
I = \int  \left(-\frac{y\cos^{-1}y}{\sqrt{1-y^2}}\right) + 1 \, dy = - \int  \left(\frac{y\cos^{-1}y}{\sqrt{1-y^2}}\right)\, dy + \int 1 \, dy = y - \int  \left(\frac{y\cos^{-1}y}{\sqrt{1-y^2}}\right)\, dy

Para resolver a outra integral que compõe I, devemos usar substituição:
w = \cos^{-1}y \, \Rightarrow \, dw = -\frac{1}{\sqrt{1-y^2}}dy

Lembre que se w = \cos^{-1}y, então \cos w = y.

Desse modo, temos:
\int  \left(\frac{y\cos^{-1}y}{\sqrt{1-y^2}}\right)\, dy = - \int w\cos w\, dw = -(w\sin w + \cos w) = -\cos^{-1}y\sin (\cos^{-1}y) - \cos (\cos^{-1}y) = -\cos^{-1}y\sqrt{1-y^2} - y

Observação: Faça a integral \int w\cos w\, dw por partes. Além disso, lembre-se que \sin (\cos^{-1}y) = \sqrt{1- [\cos(\cos^{-1} y)]^2} = \sqrt{1- y^2}.

Sendo assim, voltando a I, nós temos:
I = \int  \left(-\frac{y\cos^{-1}y}{\sqrt{1-y^2}}\right) + 1 \, dy = 2y + \cos^{-1}y\sqrt{1-y^2}

Substituindo I em V, nós obtemos:
V = 4\pi\int_0^1 (\cos^{-1} y)^2 \,dy = 4\pi\left[(\cos^{-1} y)\left(y\cos^{-1}y - \sqrt{1-y^2}\right) - 2y - \cos^{-1}y\sqrt{1-y^2}\right]_0^1 = 4\pi(\pi - 2).

Agora cabe a você destrinchar as contas!
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Assunto: [Função] do primeiro grau e quadratica
Autor: Thassya - Sáb Out 01, 2011 16:20

1) Para que os pontos (1,3) e (-3,1) pertençam ao grafico da função f(X)=ax + b ,o valor de b-a deve ser ?

2)Qual o maior valor assumido pela função f : [-7 ,10] em R definida por f(x) = x ao quadrado - 5x + 9?

3) A função f, do primeiro grau, é definida pos f(x)= 3x + k para que o gráfico de f corte o eixo das ordenadas no ponto de ordenada 5 é?


Assunto: [Função] do primeiro grau e quadratica
Autor: Neperiano - Sáb Out 01, 2011 19:46

Ola

Qual as suas dúvidas?

O que você não está conseguindo fazer?

Nos mostre para podermos ajudar

Atenciosamente


Assunto: [Função] do primeiro grau e quadratica
Autor: joaofonseca - Sáb Out 01, 2011 20:15

1)Dados dois pontos A=(1,3) e B=(-3,1) de uma reta, é possivel definir a sua equação.

y_{b}-y_{a}=m(x_{b}-x_{a})

1-3=m(-3-1) \Leftrightarrow -2=-4m \Leftrightarrow m=\frac{2}{4} \Leftrightarrow m=\frac{1}{2}

Em y=mx+b substitui-se m, substitui-se y e x por um dos pares ordenados, e resolve-se em ordem a b.

3=\frac{1}{2} \cdot 1+b\Leftrightarrow 3-\frac{1}{2}=b \Leftrightarrow b=\frac{5}{2}



2)Na equação y=x^2-5x+9 não existem zeros.Senão vejamos

Completando o quadrado,

(x^2-5x+\frac{25}{4})+9-\frac{25}{4} =0\Leftrightarrow (x-\frac{5}{2})^2+\frac{11}{4}=0

As coordenadas do vertice da parabola são (\frac{5}{2},\frac{11}{4})

O eixo de simetria é a reta x=\frac{5}{2}.Como se pode observar o vertice está acima do eixo Ox, estando parabola virada para cima, o vertice é um mínimo absoluto.Então basta calcular a função para os valores dos extremos do intervalo.

f(-7)=93
f(10)=59