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Volume de sólido

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Mensagempor Manoella » Seg Fev 21, 2011 23:41

Como faço para encontrar o volume de revolução da região R em torno do eixo indicado:

R= {(x,y) \epsilonIR tal que 0 \leq x \leq\pi y \leq cox \frac{x}{2}}: o eixo é 0y
Aguardo ajuda.
Manoella
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Re: Volume de sólido

Mensagempor LuizAquino » Ter Fev 22, 2011 11:38

Manoella escreveu:Como faço para encontrar o volume de revolução da região R em torno do eixo indicado:

R= \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | 0 \leq x \leq\pi,\,y \leq \cos \frac{x}{2}\}: o eixo é 0y


A situação está ilustrada na figura abaixo.
volume.png
volume.png (6.72 KiB) Exibido 1026 vezes


Girando a região R ao redor do eixo y, o volume V gerado possui cada seção transversal dada por um círculo de raio x. Sabemos que se y = \cos \frac{x}{2}, então x = 2\cos^{-1} y (onde \cos^{-1} representa a função inversa do cosseno, isto é, o arco-cosseno). Portanto, a área de cada seção transversal será dada por A(y)=4(\cos^{-1}y)^2\pi.

Dessa maneira, o volume do sólido será dado por:
V = \int_0^1 A(y)\,dy = 4\pi\int_0^1 (\cos^{-1}y)^2\,dy

O maior trabalho será resolver essa integral. Você pode começar fazendo por partes:
u = \cos^{-1} y \; \Rightarrow \; du = -\frac{1}{\sqrt{1-y^2}}\,dy

dv = \cos^{-1} y \, dy\; \Rightarrow \; v =  y\cos^{-1}y - \sqrt{1-y^2}\,dy

V = 4\pi \int (\cos^{-1} y)^2 \,dy = 4\pi(\cos^{-1} y)(y\cos^{-1}y - \sqrt{1-y^2}) - 4\pi\int  \left(-\frac{1}{\sqrt{1-y^2}}\right)(y\cos^{-1}y - \sqrt{1-y^2})\, dy

Arrumando a segunda integral (que eu vou chamar de I), nós temos:
I = \int  \left(-\frac{y\cos^{-1}y}{\sqrt{1-y^2}}\right) + 1 \, dy = - \int  \left(\frac{y\cos^{-1}y}{\sqrt{1-y^2}}\right)\, dy + \int 1 \, dy = y - \int  \left(\frac{y\cos^{-1}y}{\sqrt{1-y^2}}\right)\, dy

Para resolver a outra integral que compõe I, devemos usar substituição:
w = \cos^{-1}y \, \Rightarrow \, dw = -\frac{1}{\sqrt{1-y^2}}dy

Lembre que se w = \cos^{-1}y, então \cos w = y.

Desse modo, temos:
\int  \left(\frac{y\cos^{-1}y}{\sqrt{1-y^2}}\right)\, dy = - \int w\cos w\, dw = -(w\sin w + \cos w) = -\cos^{-1}y\sin (\cos^{-1}y) - \cos (\cos^{-1}y) = -\cos^{-1}y\sqrt{1-y^2} - y

Observação: Faça a integral \int w\cos w\, dw por partes. Além disso, lembre-se que \sin (\cos^{-1}y) = \sqrt{1- [\cos(\cos^{-1} y)]^2} = \sqrt{1- y^2}.

Sendo assim, voltando a I, nós temos:
I = \int  \left(-\frac{y\cos^{-1}y}{\sqrt{1-y^2}}\right) + 1 \, dy = 2y + \cos^{-1}y\sqrt{1-y^2}

Substituindo I em V, nós obtemos:
V = 4\pi\int_0^1 (\cos^{-1} y)^2 \,dy = 4\pi\left[(\cos^{-1} y)\left(y\cos^{-1}y - \sqrt{1-y^2}\right) - 2y - \cos^{-1}y\sqrt{1-y^2}\right]_0^1 = 4\pi(\pi - 2).

Agora cabe a você destrinchar as contas!
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}