Integral

por **Manoella** » Ter Fev 08, 2011 23:47

Ajude me a decifrar essa integral:

$\frac{{x}^{3}}{\sqrt{x}^{2}-9}dx$

Se alguém puder me ajudar ficarei grata.

por **Santa Lucci** » Qua Fev 09, 2011 00:23

Olá, tudo bom?

Bom, comecei a fazer aqui... Não terminei por dar muito trabalho (mesmo).
Fiz assim: substitui x^(1/2) por u, depois faz uma integração por fração parcial...
Mas, desisti.

Onde achou essa integral?

Att,
Santa Lucci.

por **LuizAquino** » Qua Fev 09, 2011 09:13

Manoella escreveu:Ajude me a decifrar essa integral:

$\frac{{x}^{3}}{\sqrt{x}^{2}-9}dx$

Se alguém puder me ajudar ficarei grata.

Pelo que você escreveu, a integral desejada é:
$\int \frac{{x}^{3}}{\sqrt{x}^2-9}dx$

Considerando x positivo, temos que $\sqrt{x}^2 = x$ . Sendo assim, essa integral é a mesma que:
$\int \frac{{x}^{3}}{x-9}dx$

Como no numerador temos um polinômio de grau maior do que o do denominador, então efetuamos a divisão entre esses polinômios, obtendo que o quociente será x^2+9x+81

e o resto será 729, ou seja, x^3 = (x^2+9x+81)(x-9) + 729

. Desse modo, temos que:

$\int \frac{(x^2+9x+81)(x-9) + 729}{x-9}dx = \int x^2+9x+81 + \frac{729}{x-9}dx$

De onde obtemos que:
$\int x^2+9x+81 + \frac{729}{x-9}dx =\frac{x^3}{3} + \frac{9x^2}{2} + 81x + 729\ln(x-9)+c$ , com c uma constante.

Observação
Se essa não era a integral que você queria, então por favor digite a integral desejada de forma correta.

por **Manoella** » Qua Fev 09, 2011 09:44

Realmente cometi um serio erro ao digitar, na realidade a integral que quero é essa. Desculpas pela falha;
$\frac{x^3}{\sqrt[]{x^2-9}}dx$

Desde de já meu pedido de desculpas e meu agradecimento pela colaboração.

por **LuizAquino** » Qua Fev 09, 2011 10:09

Manoella escreveu:Realmente cometi um serio erro ao digitar, na realidade a integral que quero é essa. Desculpas pela falha;
$\frac{x^3}{\sqrt{x^2-9}}dx$

Tudo bem, mas nas próximas vezes tenha mais cuidado com a escrita. Em Matemática (assim como em Português) um símbolo fora do lugar muda completamente o sentido do que está escrito.

Pois bem, vejamos a solução da integral:
$\int\frac{x^3}{\sqrt{x^2-9}}dx$

Fazendo por substituição, temos que se u = x^2-9

, então $du = 2x\,dx$ . Desse modo, obtemos:

$\int\frac{x^3}{\sqrt{x^2-9}}dx = \frac{1}{2}\int\frac{x^2\cdot (2x)}{\sqrt{x^2-9}}dx = \frac{1}{2}\int\frac{u+9}{\sqrt{u}}du$ $= \frac{1}{2}\int u^{\frac{1}{2}} + 9u^{-\frac{1}{2}}\,du = \frac{1}{2}\left( \frac{2}{3}u^\frac{3}{2} + 18u^\frac{1}{2}\right) + c$ $= \frac{1}{3}\sqrt{u^3} + 9\sqrt{u} + c = \frac{1}{3}u\sqrt{u} + 9\sqrt{u} + c$ , onde c é uma constante.

Desfazendo a substituição, obtemos:
$\int\frac{x^3}{\sqrt{x^2-9}}dx = \frac{x^2-9}{3}\sqrt{x^2-9} + 9\sqrt{x^2-9} + c$ $= \frac{x^2}{3}\sqrt{x^2-9} + 6\sqrt{x^2-9} + c$

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