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Calculo de volume atravé de integral dupla

Calculo de volume atravé de integral dupla

Mensagempor maiquel » Qua Out 13, 2010 12:34

Esta conta é para o calculo de volume de um cilindro , onde o 0,5 é o raio . Este cilindro tem 1,4 m de altura e volume de
1000 litros
. Tenho um tanque cilindrico com 1,4m de altura e raio de 0,5m. Enchendo até a boca tenho \approx 1 m³[/tex ( 1000 litros). Porém quando está 1 cm desnivelado não consigo enche toda a capacidade, pois de um lado vai vazar. Qual o volume que um não consigo encher?

v=\int_{-0,5}^{0,5}  \int_{-\sqrt[]{0,5²x²}}^{\sqrt[]{0,5²x²}} -y +0,5 dy dx

( dentro da segunda integral é 0,5²+x² e mesma coisa enbaixo)
Preciso saber o volume quando está um 1cm desnivelado.Assim a altura é de 1 cm de um lado e zero do outro. O raio é de 0,5m e a altura total do cilindro é 1,4m. Olhando de frente enchergamos um triangulo retangulo de um pequeno angulo com o cateto oposto de 1 cm, porém é um cilindro
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Re: Calculo de volume atravé de integral dupla

Mensagempor armando » Sex Jan 06, 2017 04:14

Boa noite maiquel.

Não lhe vou resolver a integral porque sinceramente não sei como a resolver. Mas, segundo uma calculadora TI-Nspire CX CAS, o resultado é como se segue:
Int. dupla de volume.jpg
Int. dupla de volume.jpg (15.79 KiB) Exibido 4739 vezes


No WolframAlpha, se você digitar como mostra a imagem vai obter exactamente o mesmo valor.
Integral dupla- WolframAlpha.jpg


Veja que, quando se inclina o cilindro de modo a provocar um desnivelamento de 1cm sobre qualquer ponto do rebordo do fundo do mesmo em relação ao plano, se vai gerar um "tronco de cilindro reto". Como o conteúdo do cilindro é liquido se o mesmo estiver cheio irá transbordar, e o volume desse transbordo, será exatamente o volume do "tronco de cilindro reto", que nesse caso tem as dimensões de 1cm de inclinação em relação ao ponto de apoio no plano e 0,5 m de raio. Repare que o "Volume 3"= Volume 2 que por sua vez é igual ao Volume 1 que foi o volume de água transbordada.
Cilindros e tronco de cilindro.jpg

Veja o vídeo abaixo que foi de onde tirei as figuras para ilustrar mais especificamente o seu caso.
https://www.youtube.com/watch?v=q5catnb4QMw

Considerando a fórmula do "Tronco de cilindro reto" dada na imagem acima, neste caso em concreto temos que:

V=3,14\times(0,5m)^2\times\(\frac{(0,01m+0m)}{2}= 3,925E^{-3}=0,003925\, m^3

Como 1\,dm^3  = 1 lt. reduzimos os metros cúbicos a litros, e deste modo ficamos com 3,925\, lt.
esta foi a quantidade de água que transbordou ao se inclinar o cilindro em 1cm.

Dado que o volume do cilindro é dado por:
V_{c}= \pi.r^2.h temos:

V_{c}= 3,14\times(0,5m)^2\times1,4m=1,099\,m^3=1099\,dm^3=1099\,lt.

Portanto quando o cilindro está 1 cm desnivelado o volume será de:
Volume total - transbordo

1099lt.-3,925lt.=1095,075 lt.

Creio que seja esse o valor.
Agora qual o valor da integral na resolução do problema, francamente não sei.
Se você ou algum outro usuário souberem e chegarem na resolução por favor postem ela aqui.
armando
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Assunto: cálculo de limites
Autor: Hansegon - Seg Ago 25, 2008 11:29

Bom dia.

Preciso de ajuda na solução deste problema, pois só chego ao resultado de 0 sobre 0.
Obrigado

\lim_{x\rightarrow-1} x³ +1/x²-1[/tex]


Assunto: cálculo de limites
Autor: Molina - Seg Ago 25, 2008 13:25

\lim_{x\rightarrow-1} \frac{{x}^{3}+1}{{x}^{2}-1}

Realmente se você jogar o -1 na equação dá 0 sobre 0.
Indeterminações deste tipo você pode resolver por L'Hôpital
que utiliza derivada.
Outro modo é transformar o numerador e/ou denominador
para que não continue dando indeterminado.

Dica: dividir o numerador e o denominador por algum valor é uma forma que normalmente dá certo. :y:

Caso ainda não tenha dado uma :idea:, avisa que eu resolvo.

Bom estudo!


Assunto: cálculo de limites
Autor: Guill - Dom Abr 08, 2012 16:03

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{x^3+1}{x^2-1}

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{(x+1)(x^2-x+1)}{(x+1)(x-1)}

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{(x^2-x+1)}{(x-1)}=\frac{-3}{2}