• Anúncio Global
    Respostas
    Exibições
    Última mensagem

Calculo de volume atravé de integral dupla

Calculo de volume atravé de integral dupla

Mensagempor maiquel » Qua Out 13, 2010 12:34

Esta conta é para o calculo de volume de um cilindro , onde o 0,5 é o raio . Este cilindro tem 1,4 m de altura e volume de
1000 litros
. Tenho um tanque cilindrico com 1,4m de altura e raio de 0,5m. Enchendo até a boca tenho \approx 1 m³[/tex ( 1000 litros). Porém quando está 1 cm desnivelado não consigo enche toda a capacidade, pois de um lado vai vazar. Qual o volume que um não consigo encher?

v=\int_{-0,5}^{0,5}  \int_{-\sqrt[]{0,5²x²}}^{\sqrt[]{0,5²x²}} -y +0,5 dy dx

( dentro da segunda integral é 0,5²+x² e mesma coisa enbaixo)
Preciso saber o volume quando está um 1cm desnivelado.Assim a altura é de 1 cm de um lado e zero do outro. O raio é de 0,5m e a altura total do cilindro é 1,4m. Olhando de frente enchergamos um triangulo retangulo de um pequeno angulo com o cateto oposto de 1 cm, porém é um cilindro
maiquel
Novo Usuário
Novo Usuário
 
Mensagens: 1
Registrado em: Qua Out 13, 2010 12:12
Formação Escolar: GRADUAÇÃO
Área/Curso: Engenharia
Andamento: cursando

Re: Calculo de volume atravé de integral dupla

Mensagempor armando » Sex Jan 06, 2017 04:14

Boa noite maiquel.

Não lhe vou resolver a integral porque sinceramente não sei como a resolver. Mas, segundo uma calculadora TI-Nspire CX CAS, o resultado é como se segue:
Int. dupla de volume.jpg
Int. dupla de volume.jpg (15.79 KiB) Exibido 189 vezes


No WolframAlpha, se você digitar como mostra a imagem vai obter exactamente o mesmo valor.
Integral dupla- WolframAlpha.jpg


Veja que, quando se inclina o cilindro de modo a provocar um desnivelamento de 1cm sobre qualquer ponto do rebordo do fundo do mesmo em relação ao plano, se vai gerar um "tronco de cilindro reto". Como o conteúdo do cilindro é liquido se o mesmo estiver cheio irá transbordar, e o volume desse transbordo, será exatamente o volume do "tronco de cilindro reto", que nesse caso tem as dimensões de 1cm de inclinação em relação ao ponto de apoio no plano e 0,5 m de raio. Repare que o "Volume 3"= Volume 2 que por sua vez é igual ao Volume 1 que foi o volume de água transbordada.
Cilindros e tronco de cilindro.jpg

Veja o vídeo abaixo que foi de onde tirei as figuras para ilustrar mais especificamente o seu caso.
https://www.youtube.com/watch?v=q5catnb4QMw

Considerando a fórmula do "Tronco de cilindro reto" dada na imagem acima, neste caso em concreto temos que:

V=3,14\times(0,5m)^2\times\(\frac{(0,01m+0m)}{2}= 3,925E^{-3}=0,003925\, m^3

Como 1\,dm^3  = 1 lt. reduzimos os metros cúbicos a litros, e deste modo ficamos com 3,925\, lt.
esta foi a quantidade de água que transbordou ao se inclinar o cilindro em 1cm.

Dado que o volume do cilindro é dado por:
V_{c}= \pi.r^2.h temos:

V_{c}= 3,14\times(0,5m)^2\times1,4m=1,099\,m^3=1099\,dm^3=1099\,lt.

Portanto quando o cilindro está 1 cm desnivelado o volume será de:
Volume total - transbordo

1099lt.-3,925lt.=1095,075 lt.

Creio que seja esse o valor.
Agora qual o valor da integral na resolução do problema, francamente não sei.
Se você ou algum outro usuário souberem e chegarem na resolução por favor postem ela aqui.
armando
Usuário Dedicado
Usuário Dedicado
 
Mensagens: 26
Registrado em: Seg Abr 01, 2013 16:02
Formação Escolar: ENSINO MÉDIO
Andamento: cursando


Voltar para Cálculo: Limites, Derivadas e Integrais

 



  • Tópicos relacionados
    Respostas
    Exibições
    Última mensagem

Quem está online

Usuários navegando neste fórum: Nenhum usuário registrado e 3 visitantes

 



Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}