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volume de sólido por rotação

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Mensagempor hmspriss » Qui Set 23, 2010 11:13

o exercício pede para calcular o volume dex^2+y^2\leq2 e 0\leq y\leq x o resultado era para ser 4\pi(\sqrt[]{2}-1)/3
fiz os calculo usando a fórmula v=\pi \int_{a}^{b} f(x)^2dx mas o resultado deu 4\pi/3, acho que o problema está no intervalo da integração, eu coloquei de 0 até 1, qual seria o intervalo correto?
hmspriss
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Re: volume de sólido por rotação

Mensagempor MarceloFantini » Sex Set 24, 2010 01:32

O raio da semi-circunferência é \sqrt{2}, e não 1. Logo:

y = \sqrt {2 - x^2} = f(x)

V = \pi \int_0^{\sqrt{2}} (f(x))^2 \; dx = \pi \int_0^{\sqrt{2}} (2- x^2) dx = \pi (\int_0^{\sqrt{2}} 2 \; dx - \int_0^{\sqrt{2}} x^2 \; dx) = \pi \left( 2x \right)_0^{\sqrt{2}} - \pi \left( \frac{x^3}{3} \right)_0^{\sqrt{2}} = 2 \pi \sqrt{2} - \frac{2 \pi \sqrt{2}}{3} = \frac { 6 \pi \sqrt{2} - 2 \pi \sqrt{2} }{3} = \frac{4 \pi \sqrt{2}}{3}

Talvez eu tenha esquecido alguma coisa.
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e^{\pi \cdot i} +1 = 0
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Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: Alucard014 - Dom Ago 01, 2010 18:22

(UNESP - 95) Seja L o Afixo de um Número complexo a=\sqrt{8}+ i em um sistema de coordenadas cartesianas xOy. Determine o número complexo b , de módulo igual a 1 , cujo afixo M pertence ao quarto quadrante e é tal que o ângulo LÔM é reto.


Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: MarceloFantini - Qui Ago 05, 2010 17:27

Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.