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volume de sólido por rotação

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Mensagempor hmspriss » Qui Set 23, 2010 11:13

o exercício pede para calcular o volume dex^2+y^2\leq2 e 0\leq y\leq x o resultado era para ser 4\pi(\sqrt[]{2}-1)/3
fiz os calculo usando a fórmula v=\pi \int_{a}^{b} f(x)^2dx mas o resultado deu 4\pi/3, acho que o problema está no intervalo da integração, eu coloquei de 0 até 1, qual seria o intervalo correto?
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Re: volume de sólido por rotação

Mensagempor MarceloFantini » Sex Set 24, 2010 01:32

O raio da semi-circunferência é \sqrt{2}, e não 1. Logo:

y = \sqrt {2 - x^2} = f(x)

V = \pi \int_0^{\sqrt{2}} (f(x))^2 \; dx = \pi \int_0^{\sqrt{2}} (2- x^2) dx = \pi (\int_0^{\sqrt{2}} 2 \; dx - \int_0^{\sqrt{2}} x^2 \; dx) = \pi \left( 2x \right)_0^{\sqrt{2}} - \pi \left( \frac{x^3}{3} \right)_0^{\sqrt{2}} = 2 \pi \sqrt{2} - \frac{2 \pi \sqrt{2}}{3} = \frac { 6 \pi \sqrt{2} - 2 \pi \sqrt{2} }{3} = \frac{4 \pi \sqrt{2}}{3}

Talvez eu tenha esquecido alguma coisa.
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e^{\pi \cdot i} +1 = 0
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}