Limites - erro em prova?

[LFurriel]

Olá, realizei uma prova da usp hoje, e após conferir o gabarito fiquei com uma dúvida.
http://www.fuvest.br/tran2011/provas/tran2011.exa.pdf ..
a questao 43, da pagina 8, me deixou intrigada.
Pois para mim, a resposta seria a alternativa d, contraria ao que diz no gabarito, que aponta a B como correta.
Gostaria que alguem me explicasse o porque. Obrigada!

[Lucio Carvalho]

Olá LFurriel,
Apresento, em anexo, a ajuda.
Espero que compreendas!

[LFurriel]

Ola, só nao entendi pq o primeiro limite vale 0 e nao 2.
Pois nao seria 2 multiplicando um limite notavel de sen(x)/x qe vale 1?
por isso pra mim a resposta seria 5/2, pois seria esse 2 somado a 1/2 da segunda expressão.
Obrigada!

[Lucio Carvalho]

Olá LFurrier,
Atenção! No primeiro limite não temos x a tender para zero.

No segundo, apesar de termos x a tender para mais infinito, no numerador está sen(1/x) e no denominador (1/x). É o mesmo que termos x a tender para zero e, no numerador existir sen x e no denominador x.

Espero que tenhas compreendido.

[LFurriel]

Desculpa a insistência, mas ainda nao compreendi ..
pois para utilizei o seguinte raciocinio, usando 1/x =v, quando "x" tender para o infinito "v" vai tender para zero, e isso vale para os dois.
como o somente o segundo é utilizado do limite notavel?

Usando entao x = 1/v. Fazendo a substituição e fazendo a nova variável tender para zero vem:

limite x --> +inf de 2(senx)/x + (x/2)sen(1/x) =

limite x --> 0 de 2[sen(1/v)/(1/v)] + (1/2v)sen(v) =

limite x --> 0 de 2[sen(1/v)/(1/v)] + (1/2)(senv)/v =

limite x --> 0 de 2[1] + (1/2)(1) =

2+1/2 = 5/2

Chegando na letra "d".

Queria entender!

Obrigada pela paciencia!

[MarceloFantini]

No limite fundamental da função seno, o denominador tem que sempre tender a zero, qualquer que seja ele. , o denominador tende a zero, portanto caracteriza o limite fundamental. Vou fazer com a mudança de variável que você fez: tal que :