Problema, mínimos e máximos

por **Bruhh** » Sex Jun 11, 2010 16:46

Bruhh escreveu:Olá mais uma vez!

Então, dessa vez gostaria apenas que alguém dessa uma olhada na minha resolução do problema abaixo, já que este é a única questão de um trabalho muito importante da minha facul.
Vou detalhar toda a minha resolução para garantir que fiz tudo corretamente. Vamos lá:

Um homem está na margem de um rio com 1km de largura. Ele quer ir para uma cidade na margem oposta, mas 4Km rio acima. Ele pretende remar em linha reta até um ponto P na margem oposta e depois caminhar o restante ao longo da margem, conforme figura abaixo. Para que ponto ele deve remar a fim de chegar a seu destino no menor tempo se ele pode andar a 7km/h e remar a 6km/h? Qual será o menor tempo?

|AP|² = x²+1²
|AP|= $\sqrt[]{{x}^{2}+1}$

Distância AC = $\sqrt[]{{x}^{2}+1}$ + (4-x)
Tempo= $\frac{\sqrt[]{{x}^{2}+1}}{6}$ $+\frac{(4-x)}{7}$
T= $\frac{1}{6}.({{x}^{2}+1})^{\frac{1}{2}}$ $+ \frac{(4-x)}{7}$
T'= $\frac{1}{6}.\frac{1}{2}.{({x}^{2}+1)}^{-\frac{1}{2}}.2x$ + $\frac{[7.(-1)-(4-x).0]}{{7}^{2}}$
T'= $\frac{1}{6}.\frac{1}{2}.{({x}^{2}+1)}^{\frac{-1}{2}}.2x -\frac{7}{49}$
T'= $\frac{x}{6\sqrt[]{{x}^{2}+1}}-\frac{1}{7}$
$\frac{x}{6\sqrt[]{{x}^{2}+1}}-\frac{1}{7}$ =0
$\frac{x}{6\sqrt[]{{x}^{2}+1}}=\frac{1}{7}$
7x=6 $\sqrt[]{{x}^{2}+1}$
${\left(\frac{7x}{6} \right)}^{2}={\left(\sqrt[]{{x}^{2}+1}}\right)^{2}$
$\frac{49{x}^{2}}{36}={x}^{2}+1$
$\frac{49{x}^{2}}{36} - {x}^{2}=1$
$\frac{13{x}^{2}}{36}=1$
$x=\sqrt[]{\frac{36}{13}}$
$x=\frac{6}{\sqrt[]{13}}\simeq1,66 Km$

Aplicando o valor encontrado na função tempo para descobrir o menor tempo possível:
T= $\frac{\sqrt[]{{1,66}^{2}+1}}{6}+\frac{4-1,66}{7}$
T $\simeq0,657 horas$

Então, para o homem chegar ao seu destino no menor tempo possvel, ele deve fazer o percurso APC que levará aproximadamente 0,657 horas

Então, é isso? Fiz alguma coisa de errado?
Muito Obrigada
Bom Final De Semana a Todos

por **Bruhh** » Sex Jun 11, 2010 16:47

Bruhh escreveu:Olá mais uma vez!

Então, dessa vez gostaria apenas que alguém dessa uma olhada na minha resolução do problema abaixo, já que este é a única questão de um trabalho muito importante da minha facul.
Vou detalhar toda a minha resolução para garantir que fiz tudo corretamente. Vamos lá:

Um homem está na margem de um rio com 1km de largura. Ele quer ir para uma cidade na margem oposta, mas 4Km rio acima. Ele pretende remar em linha reta até um ponto Pna margem oposta e depois caminhar o restante ao longo da margem, sonforme figura abaixo. Para que ponto ele deve remar a fim de chegar a seu destino no menor tempo se ele pode andar a 7km/h e remar a 6km/h? Qual será o menor tempo?

|AP|² = x²+1²
|AP|= $\sqrt[]{{x}^{2}+1}$

Distância AC = $\sqrt[]{{x}^{2}+1}$ + (4-x)
Tempo= $\frac{\sqrt[]{{x}^{2}+1}}{6}$ $+\frac{(4-x)}{7}$
T= $\frac{1}{6}.({{x}^{2}+1})^{\frac{1}{2}}$ $+ \frac{(4-x)}{7}$
T'= $\frac{1}{6}.\frac{1}{2}.{({x}^{2}+1)}^{-\frac{1}{2}}.2x$ + $\frac{[7.(-1)-(4-x).0]}{{7}^{2}}$
T'= $\frac{1}{6}.\frac{1}{2}.{({x}^{2}+1)}^{\frac{-1}{2}}.2x -\frac{7}{49}$
T'= $\frac{x}{6\sqrt[]{{x}^{2}+1}}-\frac{1}{7}$
$\frac{x}{6\sqrt[]{{x}^{2}+1}}-\frac{1}{7}$ =0
$\frac{x}{6\sqrt[]{{x}^{2}+1}}=\frac{1}{7}$
7x=6 $\sqrt[]{{x}^{2}+1}$
${\left(\frac{7x}{6} \right)}^{2}={\left(\sqrt[]{{x}^{2}+1}}\right)^{2}$
$\frac{49{x}^{2}}{36}={x}^{2}+1$
$\frac{49{x}^{2}}{36} - {x}^{2}=1$
$\frac{13{x}^{2}}{36}=1$
$x=\sqrt[]{\frac{36}{13}}$
$x=\frac{6}{\sqrt[]{13}}\simeq1,66 Km$

Aplicando o valor encontrado na função tempo para descobrir o menor tempo possível:
T= $\frac{\sqrt[]{{1,66}^{2}+1}}{6}+\frac{4-1,66}{7}$
T $\simeq0,657 horas$

Então, para o homem chegar ao seu destino no meu tempo possvel, ele deve fazer o percurso APC que levará aproximadamente 0,657 horas

Então, é isso? Fiz alguma coisa de errado?
Muito Obrigada
Bom Final De Semana a Todos

por **Bruhh** » Sex Jun 11, 2010 16:53

Bruhh escreveu:Olá mais uma vez!

Então, dessa vez gostaria apenas que alguém dessa uma olhada na minha resolução do problema abaixo, já que este é a única questão de um trabalho muito importante da minha facul.
Vou detalhar toda a minha resolução para garantir que fiz tudo corretamente. Vamos lá:

Um homem está na margem de um rio com 1km de largura. Ele quer ir para uma cidade na margem oposta, mas 4Km rio acima. Ele pretende remar em linha reta até um ponto Pna margem oposta e depois caminhar o restante ao longo da margem, sonforme figura abaixo. Para que ponto ele deve remar a fim de chegar a seu destino no menor tempo se ele pode andar a 7km/h e remar a 6km/h? Qual será o menor tempo?

|AP|² = x²+1²
|AP|= $\sqrt[]{{x}^{2}+1}$

Distância AC = $\sqrt[]{{x}^{2}+1}$ + (4-x)
Tempo= $\frac{\sqrt[]{{x}^{2}+1}}{6}$ $+\frac{(4-x)}{7}$
T= $\frac{1}{6}.({{x}^{2}+1})^{\frac{1}{2}}$ $+ \frac{(4-x)}{7}$
T'= $\frac{1}{6}.\frac{1}{2}.{({x}^{2}+1)}^{-\frac{1}{2}}.2x$ + $\frac{[7.(-1)-(4-x).0]}{{7}^{2}}$
T'= $\frac{1}{6}.\frac{1}{2}.{({x}^{2}+1)}^{\frac{-1}{2}}.2x -\frac{7}{49}$
T'= $\frac{x}{6\sqrt[]{{x}^{2}+1}}-\frac{1}{7}$
$\frac{x}{6\sqrt[]{{x}^{2}+1}}-\frac{1}{7}$ =0
$\frac{x}{6\sqrt[]{{x}^{2}+1}}=\frac{1}{7}$
7x=6 $\sqrt[]{{x}^{2}+1}$
${\left(\frac{7x}{6} \right)}^{2}={\left(\sqrt[]{{x}^{2}+1}}\right)^{2}$
$\frac{49{x}^{2}}{36}={x}^{2}+1$
$\frac{49{x}^{2}}{36} - {x}^{2}=1$
$\frac{13{x}^{2}}{36}=1$
$x=\sqrt[]{\frac{36}{13}}$
$x=\frac{6}{\sqrt[]{13}}\simeq1,66 Km$

Aplicando o valor encontrado na função tempo para descobrir o menor tempo possível:
T= $\frac{\sqrt[]{{1,66}^{2}+1}}{6}+\frac{4-1,66}{7}$
T $\simeq0,657 horas$

Então, para o homem chegar ao seu destino no menor tempo possvel, ele deve fazer o percurso APC que levará aproximadamente 0,657 horas

Então, é isso? Fiz alguma coisa de errado?
Muito Obrigada
Bom Final De Semana a Todos