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Série vira Integral

Série vira Integral

Mensagempor Questioner » Dom Mai 23, 2010 13:12

Olá,

Preciso determinar se a seguinte série converge:
\sum_{\infty}^{k=1} \frac{{tg}^{-1} k}{1+{k}^{2}}

Comecei utilizando o teste da integral:
\lim_{b\rightarrow\infty} \int_{0}^{b}  \frac{{tg}^{-1} b}{1+{k}^{2}}

Ok. Observando, lembrei que se utiliza-se a ideia de que:

\int_{}^{} \frac{dx}{\sqrt[]{1+{x}^{2}}}

e nela podemos usar uma substituição trigonométrica.

x = a \,tg(\Theta)

Ou seja, a equação poderia ser descrita como:

\lim_{b\rightarrow\infty} \int_{0}^{b}  \frac{{tg}^{-1} b}{\sqrt[]({}1+{b}^{4})}

Substituindo:

{x}^{2} = tg(\Theta)\, ,x = \sqrt[]{tg(\Theta)}\, ,d({x}^{2}) = {sec}^{2}(\Theta)

Ou seja,
1 + {({x}^{2})}^{2} = 1 + {tg}^{2}(\Theta) = {sec}^{2} (\Theta)

ATENÇÃO AGORA. Fiz de dois jeitos distintos, pois fiquei na dúvida. Vejam se algum confere, por favor:

JEITO A

Voltando a primeira integral:

\int_{}^{} \frac{{sec}^{2}(\Theta)}{{sec}^{2}(\Theta)}\,arctg(\Theta)

Seguindo:

\int_{}^{} arctg(\Theta)= arccotg (\Theta) + ln\,\sqrt[]{2} + C

Limite:

\lim_{b\rightarrow\infty} arccotg (b) + ln\,\sqrt[]{2}

O jeito B também não confere com o resultado final.


RESULTADO FINAL: \frac{3\pi}{32}



Acho que fiz uma tempestade em um copo d'água. A resolução deve ser muito mais simples, mas não consigo vê-la. Alguém pode me ajudar?

Obrigado!
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Re: Série vira Integral

Mensagempor magellanicLMC » Qua Fev 05, 2014 22:06

está certo o teste que tu resolveu usar mas primeiro tu pode facilitar a questão trazendo p uma função de x que vá se comportar de uma forma já conhecida no caso eu faria f\left(x \right)= \frac{{tg}^{-1}x}{{x}^{2}+1} e começaria a trabalhar a partir dela
p/ que o teste da integral seja efetuado precisamos primeiro conferir algumas condições
1) a série ser decrescente e continua
2)apresentar termos positivos p/ x maior que 1
supondo que a função de fato admita essas condições vamos aplicar o teste da integral (caso tu tenhas dificuldades aqui pergunte)
\int_{1}^{\infty}\frac{{tg}^{-1}x}{{x}^{2}+1}
\lim_{b->\infty}\int_{1}^{b}\frac{{tg}^{-1}x}{{x}^{2}+1}
considerando u= {tg}^{-1}xdu=\frac{1}{{x}^{2}+1}dx que é exatamente o que temos em nossa integral, substituindo fica \lim_{b->\infty}\int_{1}^{b}udu
\lim_{b->\infty} \frac{{u}^{2}}{2} voltando p/u e aplicando os limites fica \lim_{b->\infty} \frac{{arctg}^{2}b}{2}-\frac{{arctg}^{2}1}{2}
analisando o gráfico da tangente e invertendo nos temos o gráfico da arcotangente ou seja
\frac{ \frac{{\pi}^{2}}{2}}{2}- \frac{  \frac{{\pi}^{2}}{4} }{2} = \frac{3{\pi}^{2}}{32}
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Re: Série vira Integral

Mensagempor e8group » Qui Fev 06, 2014 12:21

Se não foi determinado um método a seguir , no meu ponto de vista , um método bem simples é o dá comparação .

Observe que a função tangente definida do intervalo (\pi/2, \pi/2) ao \mathbb{R} é injetora e sobrejetora (podemos ver esboçando o gráfico) . Assim , a função arco tangente (inversa da tangente) está bem definida de \mathbb{R} em (\pi/2, \pi/2) e esta função por sua vez é limitada superiormente por \pi/2 e inferiormente por -\pi/2 e assim ela é limitada por \pi/2 o que significa que |arctan(x)| < \pi/2 para todo x . Quando multiplicamos está desigualdade por 1/(x^2+1) obtemos que

|f(x)| < \frac{\pi/2}{x^2+1} . Desta forma , para n \in \mathbb{N} , pondo a_n = f(n) temos

|a_n | <    \frac{\pi}{2} \cdot  \frac{1}{n^2+1} .Pelo que \sum \frac{1}{n^2+1} converge ,então \sum |a_n| converge .Logo , \sum a_n converge .
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Re: Série vira Integral

Mensagempor magellanicLMC » Qui Fev 06, 2014 23:07

concordo com o que tu desenvolveu santhiago, eu realmente só fiz pelo método mais trabalhoso pqe falava em integral no enunciado mas é preferível o teu jeito hahaha
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Assunto: Exercicios de polinomios
Autor: shaft - Qua Jun 30, 2010 17:30

2x+5=\left(x+m\right)²-\left(x-n \right)²

Então, o exercicio pede para encontrar {m}^{3}-{n}^{3}.

Bom, tentei resolver a questão acima desenvolvendo as duas partes em ( )...Logo dps cheguei em um resultado q nao soube o q fazer mais.
Se vcs puderem ajudar !


Assunto: Exercicios de polinomios
Autor: Douglasm - Qua Jun 30, 2010 17:53

Bom, se desenvolvermos isso, encontramos:

2x+5 = 2x(m+n) + m^2-n^2

Para que os polinômios sejam iguais, seus respectivos coeficientes devem ser iguais (ax = bx ; ax² = bx², etc.):

2(m+n) = 2 \;\therefore\; m+n = 1

m^2-n^2 = 5 \;\therefore\; (m+n)(m-n) = 5 \;\therefore\; (m-n) = 5

Somando a primeira e a segunda equação:

2m = 6 \;\therefore\; m = 3 \;\mbox{consequentemente:}\; n=-2

Finalmente:

m^3 - n^3 = 27 + 8 = 35

Até a próxima.