• Anúncio Global
    Respostas
    Exibições
    Última mensagem

Série vira Integral

Série vira Integral

Mensagempor Questioner » Dom Mai 23, 2010 13:12

Olá,

Preciso determinar se a seguinte série converge:
\sum_{\infty}^{k=1} \frac{{tg}^{-1} k}{1+{k}^{2}}

Comecei utilizando o teste da integral:
\lim_{b\rightarrow\infty} \int_{0}^{b}  \frac{{tg}^{-1} b}{1+{k}^{2}}

Ok. Observando, lembrei que se utiliza-se a ideia de que:

\int_{}^{} \frac{dx}{\sqrt[]{1+{x}^{2}}}

e nela podemos usar uma substituição trigonométrica.

x = a \,tg(\Theta)

Ou seja, a equação poderia ser descrita como:

\lim_{b\rightarrow\infty} \int_{0}^{b}  \frac{{tg}^{-1} b}{\sqrt[]({}1+{b}^{4})}

Substituindo:

{x}^{2} = tg(\Theta)\, ,x = \sqrt[]{tg(\Theta)}\, ,d({x}^{2}) = {sec}^{2}(\Theta)

Ou seja,
1 + {({x}^{2})}^{2} = 1 + {tg}^{2}(\Theta) = {sec}^{2} (\Theta)

ATENÇÃO AGORA. Fiz de dois jeitos distintos, pois fiquei na dúvida. Vejam se algum confere, por favor:

JEITO A

Voltando a primeira integral:

\int_{}^{} \frac{{sec}^{2}(\Theta)}{{sec}^{2}(\Theta)}\,arctg(\Theta)

Seguindo:

\int_{}^{} arctg(\Theta)= arccotg (\Theta) + ln\,\sqrt[]{2} + C

Limite:

\lim_{b\rightarrow\infty} arccotg (b) + ln\,\sqrt[]{2}

O jeito B também não confere com o resultado final.


RESULTADO FINAL: \frac{3\pi}{32}



Acho que fiz uma tempestade em um copo d'água. A resolução deve ser muito mais simples, mas não consigo vê-la. Alguém pode me ajudar?

Obrigado!
Questioner
Usuário Ativo
Usuário Ativo
 
Mensagens: 11
Registrado em: Ter Abr 20, 2010 22:13
Formação Escolar: GRADUAÇÃO
Área/Curso: Engenharia Elétrica
Andamento: cursando

Re: Série vira Integral

Mensagempor magellanicLMC » Qua Fev 05, 2014 22:06

está certo o teste que tu resolveu usar mas primeiro tu pode facilitar a questão trazendo p uma função de x que vá se comportar de uma forma já conhecida no caso eu faria f\left(x \right)= \frac{{tg}^{-1}x}{{x}^{2}+1} e começaria a trabalhar a partir dela
p/ que o teste da integral seja efetuado precisamos primeiro conferir algumas condições
1) a série ser decrescente e continua
2)apresentar termos positivos p/ x maior que 1
supondo que a função de fato admita essas condições vamos aplicar o teste da integral (caso tu tenhas dificuldades aqui pergunte)
\int_{1}^{\infty}\frac{{tg}^{-1}x}{{x}^{2}+1}
\lim_{b->\infty}\int_{1}^{b}\frac{{tg}^{-1}x}{{x}^{2}+1}
considerando u= {tg}^{-1}xdu=\frac{1}{{x}^{2}+1}dx que é exatamente o que temos em nossa integral, substituindo fica \lim_{b->\infty}\int_{1}^{b}udu
\lim_{b->\infty} \frac{{u}^{2}}{2} voltando p/u e aplicando os limites fica \lim_{b->\infty} \frac{{arctg}^{2}b}{2}-\frac{{arctg}^{2}1}{2}
analisando o gráfico da tangente e invertendo nos temos o gráfico da arcotangente ou seja
\frac{ \frac{{\pi}^{2}}{2}}{2}- \frac{  \frac{{\pi}^{2}}{4} }{2} = \frac{3{\pi}^{2}}{32}
magellanicLMC
Novo Usuário
Novo Usuário
 
Mensagens: 9
Registrado em: Ter Jan 28, 2014 20:35
Formação Escolar: GRADUAÇÃO
Andamento: cursando

Re: Série vira Integral

Mensagempor e8group » Qui Fev 06, 2014 12:21

Se não foi determinado um método a seguir , no meu ponto de vista , um método bem simples é o dá comparação .

Observe que a função tangente definida do intervalo (\pi/2, \pi/2) ao \mathbb{R} é injetora e sobrejetora (podemos ver esboçando o gráfico) . Assim , a função arco tangente (inversa da tangente) está bem definida de \mathbb{R} em (\pi/2, \pi/2) e esta função por sua vez é limitada superiormente por \pi/2 e inferiormente por -\pi/2 e assim ela é limitada por \pi/2 o que significa que |arctan(x)| < \pi/2 para todo x . Quando multiplicamos está desigualdade por 1/(x^2+1) obtemos que

|f(x)| < \frac{\pi/2}{x^2+1} . Desta forma , para n \in \mathbb{N} , pondo a_n = f(n) temos

|a_n | <    \frac{\pi}{2} \cdot  \frac{1}{n^2+1} .Pelo que \sum \frac{1}{n^2+1} converge ,então \sum |a_n| converge .Logo , \sum a_n converge .
e8group
Colaborador Voluntário
Colaborador Voluntário
 
Mensagens: 1400
Registrado em: Sex Jun 01, 2012 12:10
Formação Escolar: GRADUAÇÃO
Área/Curso: Engenharia Elétrica
Andamento: cursando

Re: Série vira Integral

Mensagempor magellanicLMC » Qui Fev 06, 2014 23:07

concordo com o que tu desenvolveu santhiago, eu realmente só fiz pelo método mais trabalhoso pqe falava em integral no enunciado mas é preferível o teu jeito hahaha
magellanicLMC
Novo Usuário
Novo Usuário
 
Mensagens: 9
Registrado em: Ter Jan 28, 2014 20:35
Formação Escolar: GRADUAÇÃO
Andamento: cursando


Voltar para Cálculo: Limites, Derivadas e Integrais

 



  • Tópicos relacionados
    Respostas
    Exibições
    Última mensagem

Quem está online

Usuários navegando neste fórum: Nenhum usuário registrado e 12 visitantes

 



Assunto: cálculo de limites
Autor: Hansegon - Seg Ago 25, 2008 11:29

Bom dia.

Preciso de ajuda na solução deste problema, pois só chego ao resultado de 0 sobre 0.
Obrigado

\lim_{x\rightarrow-1} x³ +1/x²-1[/tex]


Assunto: cálculo de limites
Autor: Molina - Seg Ago 25, 2008 13:25

\lim_{x\rightarrow-1} \frac{{x}^{3}+1}{{x}^{2}-1}

Realmente se você jogar o -1 na equação dá 0 sobre 0.
Indeterminações deste tipo você pode resolver por L'Hôpital
que utiliza derivada.
Outro modo é transformar o numerador e/ou denominador
para que não continue dando indeterminado.

Dica: dividir o numerador e o denominador por algum valor é uma forma que normalmente dá certo. :y:

Caso ainda não tenha dado uma :idea:, avisa que eu resolvo.

Bom estudo!


Assunto: cálculo de limites
Autor: Guill - Dom Abr 08, 2012 16:03

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{x^3+1}{x^2-1}

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{(x+1)(x^2-x+1)}{(x+1)(x-1)}

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{(x^2-x+1)}{(x-1)}=\frac{-3}{2}