Derivada pela Definiçao

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Derivada pela Definiçao

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Derivada pela Definiçao

Mensagempor PeIdInHu » Sáb Mai 22, 2010 17:24

Meu professor pediu para demonstrar atraves da definicao da derivada: \lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}
que se f(x)={x}^{n} ===> logo: f´(x)=n.{x}^{n-1}


ele disse q é meio trabalhoso porem eu nem consegui sair do lugar direito....

\lim_{h\rightarrow 0} \frac{{(x+h)}^{n}-{(x)}^{n}}{h}
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Re: Derivada pela Definiçao

Mensagempor admin » Sáb Mai 22, 2010 18:24

Olá PeIdInHu!

Fazendo uma mudança de variável, reescreva a definição assim:

f\prime(x) = \lim_{x\rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}

Então depois quando substituir a função, você terá:

f\prime(x) = \lim_{x\rightarrow a} \frac{x^n-a^n}{x-a}


Assim, seu problema se resumirá em fazer esta divisão.... Revise o assunto: divisão de polinômios e tente fazer pelo método da chave mesmo...
Após algumas etapas, observe como vão ficando as parcelas do quociente, notará que simplificando são n parcelas de a^{n-1}.

Bons estudos!
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.

Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s

Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}

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