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Integral do módulo?

Integral do módulo?

Mensagempor Questioner » Dom Mai 16, 2010 18:15

Olá,

Estou com uma dúvida na seguinte questão:

Se f(a) = \int_{0}^{2}|x(x-a)|dx para 0\leq a \leq 2.

Encontre a função f(a)

O gabarito seria:

-\int_{0}^{a}x(x-a)dx - \int_{a}^{2} x(x-a)dx
Que seria igual a \frac{a³}{3}-2a+\frac{8}{3}

Tudo bem, resolver a integral é fácil. Mas, teoricamente, por que separar as integrais de 0 a A e de A a 2? E por que elas devem ficar negativas?

Valeu!
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Re: Integral do módulo?

Mensagempor Cahu » Qua Abr 20, 2011 23:11

Se f(a) = \int_{0}^{2}|x(x-a)|dx para 0\leq a \leq 2.

como o 0<a<2 e 0<x<2 entao para x(x-a) com x<a temos que o resultado dessa integral é negativa, por isso o sinal de menos e a divisão para 2 integrais, a segunda parte pode ser feita normalmente pois o valor é positivo e não precisa do sinal de menos.

-\int_{0}^{a}x(x-a)dx + \int_{a}^{2} x(x-a)dx
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Re: Integral do módulo?

Mensagempor LuizAquino » Qui Abr 21, 2011 09:38

Questioner escreveu:Mas, teoricamente, por que separar as integrais de 0 a A e de A a 2? E por que elas devem ficar negativas?


Do ponto de vista teórico, é necessário apenas lembrar da definição de módulo de um número real x:

|x| = \begin{cases}x\textrm{, se } x\geq 0 \\ -x\textrm{, se } x < 0\end{cases}

Desse modo, aplicando a definição para |x(x-a)| (lembrando que 0\leq a \leq 2 e 0\leq x \leq 2 neste exercício):

|x(x-a)| = \begin{cases}x(x-a)\textrm{, se } x(x-a) \geq 0 \\ -x(x-a)\textrm{, se } x(x-a) < 0\end{cases} \Rightarrow |x(x-a)| = \begin{cases}x(x-a)\textrm{, se } x \geq a \\ -x(x-a)\textrm{, se } x < a\end{cases}

Portanto, temos que:
f(a) = \int_{0}^{2}|x(x-a)|dx = -\int_{0}^{a}x(x-a)\,dx + \int_{a}^{2} x(x-a)\,dx = \frac{1}{3}a^3 - 2a + \frac{8}{3} .

Note que apenas na primeira integral deve aparecer o sinal negativo antes dela.
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Assunto: Funções
Autor: Emilia - Sex Dez 03, 2010 13:24

Preciso de ajuda no seguinte problema:
O governo de um Estado Brasileiro mudou a contribuição previdenciária de seus contribuintes. era de 6% sobre qualquer salário; passou para 11% sobre o que excede R$1.200,00 nos salários. Por exemplo, sobre uma salário de R$1.700,00, a contribuição anterior era: 0,06x R$1.700,00 = R$102,00; e a atual é: 0,11x(R$1.700,00 - R$1.200,00) = R$55,00.
i. Determine as funções que fornecem o valor das contribuições em função do valor x do salário antes e depois da mudança na forma de cobrança.
ii. Esboce seus gráficos.
iii. Determine os valores de salários para os quais:
- a contribuição diminuiu;
- a contribuição permaneceu a mesma;
- a contribuição aumentou.