Cálculo vetorial. Curvas

por **guilherme5088** » Ter Abr 06, 2021 11:34

Seja α(t) uma curva parametrizada que não passa pela origem. Se α(to) é o ponto do traço de α mais próximo da origem e α'(to) é diferente de 0. Mostre que o vetor posição α(t) é ortogonal a α'(to).

por **adauto martins** » Qui Abr 08, 2021 13:12

temos que

$\left|\alpha(t) \right|^2=\alpha(t).\alpha(t) d/dt(\left|\alpha(t) \right|^2)=0\Rightarrow d/dt(\alpha(t).\alpha(t))=d/dt(\alpha(t).\alpha(t)+\alpha(t).d/dt(\alpha(t)=0 \Rightarrow 2.\alpha(t).d/dt(\alpha(t))=0\Rightarrow \alpha(t).d/dt=0$

logo sao perpendiculares...

por **guilherme5088** » Qui Abr 08, 2021 20:17

Não entendi pq vc igualou a zero logo no começo da soluçao.

por **guilherme5088** » Qui Abr 08, 2021 20:19

Isso ocorre pq o produto escalar é um número?

por **guilherme5088** » Qui Abr 08, 2021 23:33

Entendi agora. Como |a(to)| é mínimo, entao to é um ponto crítico, isso implica g'(t)=0, considerando g(t)= <a(t),a(t)>

por **LuizAquino** » Sex Abr 09, 2021 13:28

guilherme5088 escreveu:Seja α(t) uma curva parametrizada que não passa pela origem. Se α(to) é o ponto do traço de α mais próximo da origem e α'(to) é diferente de 0. Mostre que o vetor posição α(t) é ortogonal a α'(to).

Olá Guilherme, veja minha resolução neste vídeo:

https://www.youtube.com/watch?v=1XRFbaIvguQ

Eu espero que isso possa ajudar!

por **adauto martins** » Sex Abr 09, 2021 17:07

pois é meu caro guilherme,
toda curva,cujo traço(caminho) é continua e diferencial em um dado dominio,tem-se o vetor posiçao ortogonal ao vetor tangente("velocidade"),isso é um teorema,bom de provar.pois é a norma de um vetor,é um escalar,logo a derivada de um escalar e zero.
assim como tambem teremos

$\alpha'(t).\alpha''(t)=0$
fica como exercicio.
bom o video do luiz aquino,elucida muito sobre parametrizaçao de curvas...

por **guilherme5088** » Sex Abr 09, 2021 21:05

LuizAquino escreveu:
guilherme5088 escreveu:Seja α(t) uma curva parametrizada que não passa pela origem. Se α(to) é o ponto do traço de α mais próximo da origem e α'(to) é diferente de 0. Mostre que o vetor posição α(t) é ortogonal a α'(to).

Olá Guilherme, veja minha resolução neste vídeo:

https://www.youtube.com/watch?v=1XRFbaIvguQ

Eu espero que isso possa ajudar!

Sou inscrito no seu canal, professor. Muito bom o vídeo.