(Derivadas)- Cálculo A

por **Matheus1999** » Seg Jan 25, 2021 14:15

Olá, eu estou com um pouco de dúvida na resolução destas 2 derivadas, eu tentei resolve-las, mas acabo sempre por "travar".
O enunciado diz o seguinte: "Utilizando a regra das derivadas, determine o y'"
Em anexo, uma imagem contendo as derivadas.
OBS: Desculpem-me por qualquer erro, esse é o primeiro tópico que criei aqui no fórum.

por **DanielFerreira** » Sex Abr 02, 2021 18:23

Olá Matheus1999, seja bem-vindo!

Matheus1999 escreveu:Utilizando a regra das derivadas, determine o y

$(e) \ y = x \cdot \tanh^{- 1} \sqrt{x}$

Para solucionar este item, precisamos saber que $\boxed{\mathbf{\frac{d}{dx} \tanh^{- 1} x = \frac{1}{1 - x^2}, \ se - 1 < x < 1}}$ .

Seja $\mathbf{z = \tanh^{- 1} \sqrt{x}}$ . Determinemos sua derivada considerando $\mathsf{\sqrt{x} = \lambda}$ . Com efeito, implica que $\mathsf{d\lambda = \frac{\sqrt{x}}{2x} dx}$ . Daí,

$\\ \mathsf{z = \tanh^{- 1} \sqrt{x}} \\\\ \mathsf{z = \tanh^{- 1} \lambda} \\\\ \mathsf{dz = \frac{1}{1 - \lambda^2} d\lambda} \\\\ \mathsf{dz = \frac{1}{1 - x} \cdot \frac{\sqrt{x}}{2x} dx} \\\\ \boxed{\mathsf{\frac{d}{dx} \left ( \tanh^{- 1} \sqrt{x} \right ) = \frac{\sqrt{x}}{2x(1 - x)}}}$

Por fim, aplicando a regra do produto:

$\\ \mathsf{y = x \cdot \tanh^{- 1} \sqrt{x}} \\\\ \mathsf{dy = \left [ 1 \cdot \tanh^{- 1} \sqrt{x} + x \cdot \frac{\sqrt{x}}{2x(1 - x)} \right ] dx} \\\\ \mathsf{\frac{dy}{dx} = \tanh^{- 1} \sqrt{x} + \frac{\sqrt{x}}{2(1 - x)}} \\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{\frac{d}{dx} \left ( x \cdot \tanh^{- 1} \sqrt{x} \right ) = \tanh^{- 1} \sqrt{x} + \frac{\sqrt{x}}{2(1 - x)}}}}$

$\mathsf{\forall \, x \in \mathbb{R}; \, 0 \leq x < 1}$ .

Quanto ao outro item, podes passar o fator que está fora da raiz para dentro e aplicar a regra da cadeia!

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Re: (Derivadas)- Cálculo A

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