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Cálculo II - Regra da Cadeia para várias variáveis

Cálculo II - Regra da Cadeia para várias variáveis

Mensagempor Guga1981 » Qua Nov 11, 2020 02:22

Bom dia, amigos!
Faço Licenciatura em Matemática na Univesp.
Gosto de assistir as video-aulas pausando os exercícios e resolvendo-os antes de ver a resposta.
Ao tentar fazer o exercício abaixo, a minha solução deu diferente da do professor.
Gostaria de uma opinião de vocês para eu saber se fiz certo e o professor se equivocou (às vezes acontece...) ou o contrário.
Segue o exercício (a minha resposta deu -12 e a do professor +24):

A temperatura em uma superfície é dada por z=f(x,y)= x²y - xy. Uma partícula se desloca sobre esta superfície pela curva γ(t)=(t²-3, 3t) [onde (t²-3) é a coordenada x(t) e 3t é a coordenada y(t)].
Determine a taxa de variação de temperatura, sofrida por esta partícula, no instante t=2.
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Re: Cálculo II - Regra da Cadeia para várias variáveis

Mensagempor Guga1981 » Sex Nov 13, 2020 10:44

Consegui resolver! O professor estava certo!
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Re: Cálculo II - Regra da Cadeia para várias variáveis

Mensagempor DanielFerreira » Sex Nov 20, 2020 14:15

A taxa de variação da temperatura será dada por \boxed{\mathsf{\frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{dy}{dt}}}, onde \mathbf{z = x^2y - xy}, \mathbf{x(t) = t^2 - 3} e \mathbf{y(t) = 3t}.

Daí, temos que:

\mathsf{\bullet \qquad \frac{\partial z}{\partial x} = 2xy - y}

\mathsf{\bullet \qquad \frac{\partial z}{\partial y} = x^2 - x}

\mathsf{\bullet \qquad \frac{dx}{dt} = 2t}

\mathsf{\bullet \qquad \frac{dy}{dt} = 3}


Substituindo,

\\ \mathsf{\frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{dy}{dt}} \\\\\\ \mathsf{\frac{dz}{dt} = (2xy - y) \cdot 2t + (x^2 - x) \cdot 3} \\\\\\ \mathsf{\frac{dz}{dt} = 4txy - 2ty + 3x^2 - 3x} \\\\\\ \mathsf{\frac{dz}{dt}|_{t = 2} = 8xy - 4y + 3x^2 - 3x} \\\\\\ \mathsf{\frac{dz}{dt}|_{t = 2} = 8 \cdot (t^2 - 3) \cdot 3t - 4 \cdot 3t + 3(t^2 - 3)^2 - 3(t^2 - 3)} \\\\\\  \mathsf{\frac{dz}{dt}|_{t = 2} = 48 - 24 + 3 - 3} \\\\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{\frac{dz}{dt}|_{t = 2} = 24}}}
"Sabedoria é saber o que fazer;
habilidade é saber como fazer;
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Re: Cálculo II - Regra da Cadeia para várias variáveis

Mensagempor Guga1981 » Dom Nov 22, 2020 05:02

Obrigado! ;)
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Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 10:38

Olá ! Tenho essa dúvida e não consigo montar o problema para resolução:

Qual é o racional não nulo cujo o quadrado é igual à sua terça parte ?

Grata.


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: MarceloFantini - Sex Fev 18, 2011 12:27

x^2 = \frac{x}{3}


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 12:55

também pensei que fosse assim, mas a resposta é \frac{1}{3}.

Obrigada Fantini.


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: MarceloFantini - Sex Fev 18, 2011 13:01

x^2 = \frac{x}{3} \Rightarrow x^2 - \frac{x}{3} = 0 \Rightarrow x \left(x - \frac{1}{3} \right) = 0

Como x \neq 0:

x - \frac{1}{3} = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3}

O que você fez?


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 16:17

eu só consegui fazer a igualdade, não consegui desenvolver o restante, não pensei em fatoração, mas agora entendi o que vc fez.

Obrigada.