Definição formal de limite

por **guilherme5088** » Sex Out 16, 2020 21:10

$f(x,y) = \frac{yx^4}{(x^4+y^4)}$
Prove que o limite existe quando (x,y) tende a (0,0)

por **adauto martins** » Seg Out 19, 2020 18:56

primeiro o limite existe,pois a potencia do numerador(contando x e y) é maior que o denominador.e seu valor é zero...
pode-se verificar,fazendo x=ay,a numero real...vamos ao uso da definiçao formal...
dado
$\varepsilon\succ 0,\exists \delta\succ 0$

tal que

$0\prec\left|x-0 \right|\prec\delta,0\prec\left|y-0 \right|\prec\delta$

que acarreta

$\left|(y.{x}^{4}/({x}^{4}+{y}^{4})-0 \right|\prec\varepsilon$

de fatos,pois

$\left|(y.{x}^{4}/({x}^{4}+{y}^{4})-0 \right|=\left|(y.{x}^{4}/({x}^{4}+{y}^{4}) \right|$

temos que

$\left|y/(1+{(y/x)}^{4}) \right|$

fazendo x=y,teremos

$\left|y/(1+{(y/x)}^{4}) \right|=\left|y \right|/2\prec \delta/2=\varepsilon$

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