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Definição formal de limite

Definição formal de limite

Mensagempor guilherme5088 » Sex Out 16, 2020 21:10

f(x,y) = \frac{yx^4}{(x^4+y^4)}
Prove que o limite existe quando (x,y) tende a (0,0)
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Re: Definição formal de limite

Mensagempor adauto martins » Seg Out 19, 2020 18:56

primeiro o limite existe,pois a potencia do numerador(contando x e y) é maior que o denominador.e seu valor é zero...
pode-se verificar,fazendo x=ay,a numero real...vamos ao uso da definiçao formal...
dado
\varepsilon\succ 0,\exists \delta\succ 0

tal que

0\prec\left|x-0 \right|\prec\delta,0\prec\left|y-0 \right|\prec\delta

que acarreta

\left|(y.{x}^{4}/({x}^{4}+{y}^{4})-0 \right|\prec\varepsilon

de fatos,pois

\left|(y.{x}^{4}/({x}^{4}+{y}^{4})-0 \right|=\left|(y.{x}^{4}/({x}^{4}+{y}^{4}) \right|

temos que

\left|y/(1+{(y/x)}^{4}) \right|

fazendo x=y,teremos

\left|y/(1+{(y/x)}^{4}) \right|=\left|y \right|/2\prec \delta/2=\varepsilon
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}