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Derivada

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Mensagempor guilherme5088 » Sex Nov 01, 2019 18:42

determinar a constante a tal que a função f(x)=x^2+a/x tenha um mínimo local em x=2. Mostre que tal função não pode ter máximo local para nenhum valor de a.
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Re: Derivada

Mensagempor guilherme5088 » Sex Nov 01, 2019 18:43

Eu consegui determinar o valor de a, derivando e igualando a 0 no ponto x=2, mas não entendi como justificar a segunda parte
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Re: Derivada

Mensagempor adauto martins » Sex Nov 01, 2019 21:52

y={x}^{2}+(a/x)...y'=({x}^{2})'+a.(1/x)'

y=2x+(-1).a/({x}^{2})\Rightarrow y'=0

(2.{x}^{3}-a)/({x}^{2})=0\Rightarrow x\neq 0...{x}^{3}=a/2

x=\sqrt[3]{a/2}

bom para saber se x=\sqrt[3]{a/2} é ponto de maximo ou minimo,devemos calcular a derivada segunda nesse ponto,entao:

y'=2x-(a/{x}^{2})\Rightarrow y''=(2x)'-(a/{x}^{2})'

y''=2-(-2)(a/{x}^{3})=(2{x}^{3}-2a)/{x}^{3}
bom para se ter um minimo em x=2,teriamos que ter:

y''(2)=(2.({2})^{3}-2a)/{2}^{3}\succ 0\Rightarrow

(16-2a)\succ 8\Rightarrow -2a\succ -8

a\prec 4...

agora vamos verificar a condiçao de a para que a funçao tenha um maximo,ou seja

y''(\sqrt[3]{a/2})\prec 0...

y''(\sqrt[3]{a/2})=(2.{\sqrt[3]{a/2}}^{3}-2a)/({\sqrt[3]{a/2}}^{3})

(2.(a/2)-2a)/(a/2)\prec 0\Rightarrow 

a-2a\prec (a/2)\Rightarrow -1\prec (1/2)

fato esse que impoe y ter um maximo,pois

y''(\sqrt[3]{a/2})=(2.{\sqrt[3]{a/2}}^{3}-2a)/({\sqrt[3]{a/2}}^{3})

y''(\sqrt[3]{a/2})=(2(a/2)-2a)/(a/2)=2(a-2a)/a=-2\prec 0...

logo y tera maximo no ponto x=\sqrt[3]{a/2}
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Re: Derivada

Mensagempor guilherme5088 » Sáb Nov 02, 2019 08:31

Acho que vc errou a segunda derivada, f"(x)= 2+2a/x^3.
Além disso, não entendi a parte final da resolução,pois a questão pede pra mostrar que a função NÃO pode ter máximo local para nenhum valor de a
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Re: Derivada

Mensagempor adauto martins » Sáb Nov 02, 2019 11:58

eh,vc esta correto meu caro guilherme.eu erro muito,quando muitos calculos,contas,e usando o LATEX é que erro mesmo.obrigado...vamos entao as questoes:
primeiro o problema pede um valor para a,de tal sorte,que o ponto seja de minimo:

y={x}^{2}+(a/x)

y'=2x-(a/{x}^{2})=(2.{x}^{3}-a)/{x}^{3}(1)

y''=2+(2a/{x}^{3})=2.({x}^{3}+a)/{x}^{3}(2)

y''(2)=2.({2}^{3}+a)/{2}^{3}\succ 0
condiçao para se ter minimo em x=2...

2.(8+a)/8\succ 0\Rightarrow 8+a\succ 4...

a\succ -4...

agora vamos analisar a condiçao de a ser ponto de maximo:

y''(a)\prec 0\Rightarrow

y''(a)=2.({a}^{3}+a)/{a}^{3}\prec 0\Rightarrow

(1+(a/{a}^{3}))\prec 0\Rightarrow

(1/{a}^{2})\prec -1...


{a}^{2}\succ -1\Rightarrow a\succ \sqrt[]{-1}

nessa condiçao a nao pode ser real,logo a nao pode ser ponto de maximo...
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Re: Derivada

Mensagempor guilherme5088 » Sáb Nov 02, 2019 12:13

Eu resolvi de outro jeito, não sei se ta certo.
f'(x)=2x^3-a/x^2 igualei a 0 para determinar o ponto crítico, para determinar se esse ponto é de máximo f"(c)<0, sendo que f"(c)=6 que é maior que 0 ou seja por contradição f só tem ponto de mínimo local e isso ocorre quando x=2.
x^3= a/2, a=16.
Posso resolver desse jeito?
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Re: Derivada

Mensagempor adauto martins » Sáb Nov 02, 2019 15:25

"determinar a constante a tal que a função f(x)=x^2+a/x tenha um mínimo local em x=2. Mostre que tal função não pode ter máximo local para nenhum valor de a."
meu caro guilherme,
a questao esta impondo uma condiçao,para se determinar um minimo em x=2...
em funçao desta condiçao,determinamos que a assume valores de a\succ -4,que eu cheguei e vc no que acabaste de concluir...anterormente,cheguei que y tera maximo ou minimo em x=\sqrt[3]{a/2}...logo,para x=2,teriamos

\sqrt[3]{a/2}=2\Rightarrow (a/2)=8...a=16... foi o que vc fez,e esta correto...e que f''(2) é positivo,logo ter minimo...nessas condiçoes esta correto...
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Re: Derivada

Mensagempor adauto martins » Sáb Nov 02, 2019 15:36

envei antes,
vamos voltar a questao...

agora vamos testar porque y,nao tem maximo...como vc fez a correçao da minha derivada segunda...

y''(\sqrt[3]{(a/2)})=2+(2a/{\sqrt[3]{(a/2)}}^{3})=2+(2a/(a/2))


y''(\sqrt[3]{(a/2)})=2+4=6\succ 0...
o que mostra que y,so tera minimo,que de sua maneira esta correto...
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Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 09:10

Veja este exercício:

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} e B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z}, então o número de elementos A \cap B é:

Eu tentei resolver este exercício e achei a resposta "três", mas surgiram muitas dúvidas aqui durante a resolução.

Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?

No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero?
existe inverso de zero?
zero é par, certo?
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x?
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z?
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z?

A resposta é 3?

Obrigado.


Assunto: método de contagem
Autor: Molina - Seg Mai 25, 2009 20:42

Boa noite, sinuca.

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} você concorda que n só pode ser de 1 a 20? Já que pertence aos naturais?
Ou seja, quais são os divisores de 20? Eles são seis: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Logo, o conjunto A é A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Se B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z} você concorda que x será os múltiplos de 5 (positivos e negativos)? Já que m pertence ao conjunto Z?
Logo, o conjunto B é B = {... , -25, -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...

Feito isso precisamos ver os números que está em ambos os conjuntos, que são: 5, 10 e 20 (3 valores, como você achou).

Vou responder rapidamente suas dúvidas porque meu tempo está estourando. Qualquer dúvida, coloque aqui, ok?

sinuca147 escreveu:No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero? sim, é o próprio zero
existe inverso de zero? não, pois não há nenhum número que multiplicado por zero resulte em 1
zero é par, certo? sim, pois pode ser escrito da forma de 2n, onde n pertence aos inteiros
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x? Sim, pois basta pegar x e multiplicar por -1 que encontramos -x
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z? Sim, tais perguntando se todo número é multiplo de si mesmo
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z? Sim, pois basta pegar -z e multiplicar por -1 que encontramos x

A resposta é 3? Sim, pelo menos foi o que vimos a cima


Bom estudo, :y:


Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 23:35

Obrigado, mas olha só este link
http://www.colegioweb.com.br/matematica ... ro-natural
neste link encontra-se a a frase:
Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.

Para determinarmos os múltiplos de 15, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão dos números naturais:

Ou seja, de acordo com este link -5 não poderia ser múltiplo de 5, assim como 5 não poderia ser múltiplo de -5, eu sempre achei que não interessava o sinal na questão dos múltiplos, assim como você me confirmou, mas e essa informação contrária deste site, tem alguma credibilidade?

Há e claro, a coisa mais bacana você esqueceu, quero saber se existe algum método de contagem diferente do manual neste caso:
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?