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Derivada

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Mensagempor guilherme5088 » Sex Nov 01, 2019 18:42

determinar a constante a tal que a função f(x)=x^2+a/x tenha um mínimo local em x=2. Mostre que tal função não pode ter máximo local para nenhum valor de a.
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Re: Derivada

Mensagempor guilherme5088 » Sex Nov 01, 2019 18:43

Eu consegui determinar o valor de a, derivando e igualando a 0 no ponto x=2, mas não entendi como justificar a segunda parte
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Re: Derivada

Mensagempor adauto martins » Sex Nov 01, 2019 21:52

y={x}^{2}+(a/x)...y'=({x}^{2})'+a.(1/x)'

y=2x+(-1).a/({x}^{2})\Rightarrow y'=0

(2.{x}^{3}-a)/({x}^{2})=0\Rightarrow x\neq 0...{x}^{3}=a/2

x=\sqrt[3]{a/2}

bom para saber se x=\sqrt[3]{a/2} é ponto de maximo ou minimo,devemos calcular a derivada segunda nesse ponto,entao:

y'=2x-(a/{x}^{2})\Rightarrow y''=(2x)'-(a/{x}^{2})'

y''=2-(-2)(a/{x}^{3})=(2{x}^{3}-2a)/{x}^{3}
bom para se ter um minimo em x=2,teriamos que ter:

y''(2)=(2.({2})^{3}-2a)/{2}^{3}\succ 0\Rightarrow

(16-2a)\succ 8\Rightarrow -2a\succ -8

a\prec 4...

agora vamos verificar a condiçao de a para que a funçao tenha um maximo,ou seja

y''(\sqrt[3]{a/2})\prec 0...

y''(\sqrt[3]{a/2})=(2.{\sqrt[3]{a/2}}^{3}-2a)/({\sqrt[3]{a/2}}^{3})

(2.(a/2)-2a)/(a/2)\prec 0\Rightarrow 

a-2a\prec (a/2)\Rightarrow -1\prec (1/2)

fato esse que impoe y ter um maximo,pois

y''(\sqrt[3]{a/2})=(2.{\sqrt[3]{a/2}}^{3}-2a)/({\sqrt[3]{a/2}}^{3})

y''(\sqrt[3]{a/2})=(2(a/2)-2a)/(a/2)=2(a-2a)/a=-2\prec 0...

logo y tera maximo no ponto x=\sqrt[3]{a/2}
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Re: Derivada

Mensagempor guilherme5088 » Sáb Nov 02, 2019 08:31

Acho que vc errou a segunda derivada, f"(x)= 2+2a/x^3.
Além disso, não entendi a parte final da resolução,pois a questão pede pra mostrar que a função NÃO pode ter máximo local para nenhum valor de a
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Re: Derivada

Mensagempor adauto martins » Sáb Nov 02, 2019 11:58

eh,vc esta correto meu caro guilherme.eu erro muito,quando muitos calculos,contas,e usando o LATEX é que erro mesmo.obrigado...vamos entao as questoes:
primeiro o problema pede um valor para a,de tal sorte,que o ponto seja de minimo:

y={x}^{2}+(a/x)

y'=2x-(a/{x}^{2})=(2.{x}^{3}-a)/{x}^{3}(1)

y''=2+(2a/{x}^{3})=2.({x}^{3}+a)/{x}^{3}(2)

y''(2)=2.({2}^{3}+a)/{2}^{3}\succ 0
condiçao para se ter minimo em x=2...

2.(8+a)/8\succ 0\Rightarrow 8+a\succ 4...

a\succ -4...

agora vamos analisar a condiçao de a ser ponto de maximo:

y''(a)\prec 0\Rightarrow

y''(a)=2.({a}^{3}+a)/{a}^{3}\prec 0\Rightarrow

(1+(a/{a}^{3}))\prec 0\Rightarrow

(1/{a}^{2})\prec -1...


{a}^{2}\succ -1\Rightarrow a\succ \sqrt[]{-1}

nessa condiçao a nao pode ser real,logo a nao pode ser ponto de maximo...
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Re: Derivada

Mensagempor guilherme5088 » Sáb Nov 02, 2019 12:13

Eu resolvi de outro jeito, não sei se ta certo.
f'(x)=2x^3-a/x^2 igualei a 0 para determinar o ponto crítico, para determinar se esse ponto é de máximo f"(c)<0, sendo que f"(c)=6 que é maior que 0 ou seja por contradição f só tem ponto de mínimo local e isso ocorre quando x=2.
x^3= a/2, a=16.
Posso resolver desse jeito?
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Re: Derivada

Mensagempor adauto martins » Sáb Nov 02, 2019 15:25

"determinar a constante a tal que a função f(x)=x^2+a/x tenha um mínimo local em x=2. Mostre que tal função não pode ter máximo local para nenhum valor de a."
meu caro guilherme,
a questao esta impondo uma condiçao,para se determinar um minimo em x=2...
em funçao desta condiçao,determinamos que a assume valores de a\succ -4,que eu cheguei e vc no que acabaste de concluir...anterormente,cheguei que y tera maximo ou minimo em x=\sqrt[3]{a/2}...logo,para x=2,teriamos

\sqrt[3]{a/2}=2\Rightarrow (a/2)=8...a=16... foi o que vc fez,e esta correto...e que f''(2) é positivo,logo ter minimo...nessas condiçoes esta correto...
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Re: Derivada

Mensagempor adauto martins » Sáb Nov 02, 2019 15:36

envei antes,
vamos voltar a questao...

agora vamos testar porque y,nao tem maximo...como vc fez a correçao da minha derivada segunda...

y''(\sqrt[3]{(a/2)})=2+(2a/{\sqrt[3]{(a/2)}}^{3})=2+(2a/(a/2))


y''(\sqrt[3]{(a/2)})=2+4=6\succ 0...
o que mostra que y,so tera minimo,que de sua maneira esta correto...
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Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Dom Jan 17, 2010 14:42

Não sei onde este tópico se encaixaria. Então me desculpem.
Eu não entendi essa passagem, alguém pode me explicar?
2n \geq n+1 ,\forall n \in\aleph*
O livro explica da seguinte forma.
1°) P(1) é verdadeira, pois 2.1 \geq 1+1
2°) Admitamos que P(k), k \in \aleph*, seja verdadeira:
2k \geq k+1 (hipótese da indução)
e provemos que 2(k+1) \geq (K+1)+1
Temos: (Nessa parte)
2(k+1) = 2k+2 \geq (k+1)+2 > (k+1)+1


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Seg Jan 18, 2010 01:55

Boa noite Fontelles.

Não sei se você está familiarizado com o Princípio da Indução Finita, portanto vou tentar explicar aqui.

Ele dá uma equação, no caso:

2n \geq n+1, \forall n \in \aleph^{*}

E pergunta: ela vale para todo n? Como proceder: no primeiro passo, vemos se existe pelo menos um caso na qual ela é verdadeira:

2*1 \geq 1+1

Portanto, existe pelo menos um caso para o qual ela é verdadeira. Agora, supomos que k seja verdadeiro, e pretendemos provar que também é verdadeiro para k+1.

\mbox{Suponhamos que P(k), }k \in \aleph^{*},\mbox{ seja verdadeiro:}
2k \geq k+1

\mbox{Vamos provar que:}
2(k+1) \geq (k+1)+1

Daí pra frente, ele usou o primeiro membro para chegar em uma conclusão que validava a tese. Lembre-se: nunca saia da tese.

Espero ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Seg Jan 18, 2010 02:28

Mas, Fantini, ainda fiquei em dúvida na passagem que o autor fez (deixei uma msg entre o parêntese).
Obrigado pela ajuda, mesmo assim.
Abraço!


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Qui Jan 21, 2010 11:32

Galera, ajuda aí!
Por falar nisso, alguém conhece algum bom material sobre o assunto. O livro do Iezzi, Matemática Elementar vol. 1 não está tão bom.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Jan 21, 2010 12:25

Boa tarde Fontelles!

Ainda não estou certo de qual é a sua dúvida, mas tentarei novamente.

O que temos que provar é isso: 2(k+1) \geq (k+1)+1, certo? O autor começou do primeiro membro:

2(k+1)= 2k+2

Isso é verdadeiro, certo? Ele apenas aplicou a distributiva. Depois, partiu para uma desigualdade:

2k+2 \geq (k+1)+2

Que é outra verdade. Agora, com certeza:

(k+1)+2 > (k+1)+1

Agora, como 2(k+1) é \geq a (k+1)+2, e este por sua vez é sempre > que (k+1)+1, logo:

2(k+1) \geq (k+1)+1 \quad \mbox{(c.q.d)}

Inclusive, nunca é igual, sempre maior.

Espero (dessa vez) ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Caeros - Dom Out 31, 2010 10:39

Por curiosidade estava estudando indução finita e ao analisar a questão realmente utilizar a desigualdade apresentada foi uma grande sacada para este problema, só queria tirar uma dúvida sobre a sigla (c.q.d), o que significa mesmo?


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: andrefahl - Dom Out 31, 2010 11:37

c.q.d. = como queriamos demonstrar =)


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Abelardo - Qui Mai 05, 2011 17:33

Fontelles, um bom livro para quem ainda está ''pegando'' o assunto é:'' Manual de Indução Matemática - Luís Lopes''. É baratinho e encontras na net com facilidade. Procura também no site da OBM, vais encontrar com facilidade material sobre PIF... em alguns sites que preparam alunos para colégios militares em geral também tem excelentes materiais.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Mai 05, 2011 20:05

Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Vennom - Qui Abr 26, 2012 23:04

MarceloFantini escreveu:Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.

Rpz, faz um ano que o fulano não visita o site, mas ler esse comentário dele enquanto respondia a outro tópico me ajudou. hAUEhUAEhUAEH obrigado, Marcelo. Sua explicação de indução finita me sanou uma dúvida sobre outra coisa. :-D