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Aplicações de Derivadas

Aplicações de Derivadas

Mensagempor lucasabreuo » Seg Mai 06, 2019 11:56

[Aplicações de Derivadas]

Prezados, bom dia!

Alguém poderia me ajudar como começo a resolver o problema abaixo? Eu sei que preciso usar derivada, mas não estou sabendo por onde começar uma vez que tem as constantes.

Um modelo para dispersão de um rumor é dado pela equação:

Capturar.PNG
equacao
Capturar.PNG (2.46 KiB) Exibido 1514 vezes


onde p(t) é a proporção da população que já ouviu o boato no tempo t e a e k são constantes positivas.

(a) Quando a metade da população terá ouvido um rumor?
(b) Quando ocorre a maior taxa de dispersão do boato?

Obrigado!
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Re: Aplicações de Derivadas

Mensagempor adauto martins » Sex Jul 05, 2019 12:32

esse problema nao apresenta condiçoes iniciais p. se determinar um numero especifico de populaçao.vamos achar as constantes a e k ,por pura deduçao e inferencias...vamos la!...
primeiramente,temos que:
0\prec p(t)\prec 1,pois...
a.{e}{^{}}^{-kt}\succ 0 \Rightarrow 1+ {e}{^{}}^{-kt}\succ 1\Rightarrow
1/(1+ {e}{^{}}^{-kt})\prec 1...para t=0,teremos q. ter pelo menos 2 pessoas p.dizer do rumor,logo:
p(0)=1/2 \Rightarrow 1/2=1/(1+a.{{e}^{}}^{-k.0})=1/(1+a)\Rightarrow a=1......
para achar k,teremos q. novamente inferir,mas com deduçao...
como se tem um rumor e n pessoas,podemos entao considerar p(t)=1/n...
1/n=1/(1+{e}^{-kt})\Rightarrow n=1+{e}^{-kt}...
n-1={e}^{-kt}\Rightarrow ln(n-1)=-kt,t=1\Rightarrow k=-ln(n-1)...
como k é positivo,teremos q. ter :
n-1\prec 1\Rightarrow n\prec 2...logo,n é natural,o menor numero maior q. 2 é 3...logo,tomaremos
para t=1,n=3...
1/3=1/(1+{{e}^{}}^{-k})\Rightarrow {{e}^{}}^{-k}=2

k=-ln(2)...1/3=1/(1+{{e}^{}}^{-k})\Rightarrow {{e}^{}}^{-k}=2

k=-ln(2)......portanto,teremos:
p(t)=1/(1+{e}^{-(-ln(2)t)})=1/(1+{{e}^{}}^{ln(2)t})...
a)
pelo q. deduzimos,podemos ter:
n=1+{e}^{ln(2)t},onde n e o numero de pessoas da populaçao que participa do rumor...
agora vem o problema que nao traz uma condiçao,o numero total da populaçao...
b)
p'(t)=0 e acha-se o tempo,resolva-o!...
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Re: Aplicações de Derivadas

Mensagempor adauto martins » Dom Jul 07, 2019 17:07

uma correçao:
como feito anteriormente,chegamos em:
n\prec 2... ou memos p/n=2...,teriamos:
k=-ln(1-1)=-\infty,ou k=-ln(2-1)=0,fato que nao resolveriamos o problema,pois k\succ 0...
n=3,foi erro meu,pois a condiçao é de n\succ 2,sendo n um natural,entao pelas condiçoes dadas do problema,nao havera soluçao...obrigado...
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Assunto: cálculo de limites
Autor: Hansegon - Seg Ago 25, 2008 11:29

Bom dia.

Preciso de ajuda na solução deste problema, pois só chego ao resultado de 0 sobre 0.
Obrigado

\lim_{x\rightarrow-1} x³ +1/x²-1[/tex]


Assunto: cálculo de limites
Autor: Molina - Seg Ago 25, 2008 13:25

\lim_{x\rightarrow-1} \frac{{x}^{3}+1}{{x}^{2}-1}

Realmente se você jogar o -1 na equação dá 0 sobre 0.
Indeterminações deste tipo você pode resolver por L'Hôpital
que utiliza derivada.
Outro modo é transformar o numerador e/ou denominador
para que não continue dando indeterminado.

Dica: dividir o numerador e o denominador por algum valor é uma forma que normalmente dá certo. :y:

Caso ainda não tenha dado uma :idea:, avisa que eu resolvo.

Bom estudo!


Assunto: cálculo de limites
Autor: Guill - Dom Abr 08, 2012 16:03

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{x^3+1}{x^2-1}

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{(x+1)(x^2-x+1)}{(x+1)(x-1)}

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{(x^2-x+1)}{(x-1)}=\frac{-3}{2}