Aplicações de Derivadas

por **lucasabreuo** » Seg Mai 06, 2019 11:56

[Aplicações de Derivadas]

Prezados, bom dia!

Alguém poderia me ajudar como começo a resolver o problema abaixo? Eu sei que preciso usar derivada, mas não estou sabendo por onde começar uma vez que tem as constantes.

Um modelo para dispersão de um rumor é dado pela equação:

: equacao; Capturar.PNG (2.46 KiB) Exibido 5112 vezes

onde p(t) é a proporção da população que já ouviu o boato no tempo t e a e k são constantes positivas.

(a) Quando a metade da população terá ouvido um rumor?
(b) Quando ocorre a maior taxa de dispersão do boato?

Obrigado!

por **adauto martins** » Sex Jul 05, 2019 12:32

esse problema nao apresenta condiçoes iniciais p. se determinar um numero especifico de populaçao.vamos achar as constantes a e k ,por pura deduçao e inferencias...vamos la!...
primeiramente,temos que:
$0\prec p(t)\prec 1$ ,pois...
$a.{e}{^{}}^{-kt}\succ 0 \Rightarrow 1+ {e}{^{}}^{-kt}\succ 1\Rightarrow 1/(1+ {e}{^{}}^{-kt})\prec 1$ ...para t=0,teremos q. ter pelo menos 2 pessoas p.dizer do rumor,logo:
$p(0)=1/2 \Rightarrow 1/2=1/(1+a.{{e}^{}}^{-k.0})=1/(1+a)\Rightarrow a=1...$ ...
para achar k,teremos q. novamente inferir,mas com deduçao...
como se tem um rumor e n pessoas,podemos entao considerar p(t)=1/n...
$1/n=1/(1+{e}^{-kt})\Rightarrow n=1+{e}^{-kt}...$
$n-1={e}^{-kt}\Rightarrow ln(n-1)=-kt,t=1\Rightarrow k=-ln(n-1)...$
como k é positivo,teremos q. ter :
$n-1\prec 1\Rightarrow n\prec 2...$ logo,n é natural,o menor numero maior q. 2 é 3...logo,tomaremos
para t=1,n=3...
$1/3=1/(1+{{e}^{}}^{-k})\Rightarrow {{e}^{}}^{-k}=2 k=-ln(2)...$ $1/3=1/(1+{{e}^{}}^{-k})\Rightarrow {{e}^{}}^{-k}=2 k=-ln(2)...$ ...portanto,teremos:
$p(t)=1/(1+{e}^{-(-ln(2)t)})=1/(1+{{e}^{}}^{ln(2)t})$ ...
a)
pelo q. deduzimos,podemos ter:
$n=1+{e}^{ln(2)t}$ ,onde n e o numero de pessoas da populaçao que participa do rumor...
agora vem o problema que nao traz uma condiçao,o numero total da populaçao...
b)
p'(t)=0 e acha-se o tempo,resolva-o!...

por **adauto martins** » Dom Jul 07, 2019 17:07

uma correçao:
como feito anteriormente,chegamos em:
$n\prec 2...$ ou memos p/ n=2...

,teriamos:
$k=-ln(1-1)=-\infty$ ,ou k=-ln(2-1)=0

,fato que nao resolveriamos o problema,pois $k\succ 0$ ...
n=3,foi erro meu,pois a condiçao é de $n\succ 2$ ,sendo n um natural,entao pelas condiçoes dadas do problema,nao havera soluçao...obrigado...

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