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ASSINTOTA HORIZONTAL

MensagemEnviado: Qua Abr 17, 2019 00:03
por iksin
Alguém pode me dizer, por gentileza, como calculo a assintota horizontal da seguinte função:

\frac{\sqrt[2]{2x^2+1}}{3x-5}


Teria que multiplicar pelo conjugado do numerador?

Re: ASSINTOTA HORIZONTAL

MensagemEnviado: Qua Mai 01, 2019 17:23
por Baltuilhe
iksin escreveu:Alguém pode me dizer, por gentileza, como calculo a assintota horizontal da seguinte função:

\frac{\sqrt[2]{2x^2+1}}{3x-5}


Teria que multiplicar pelo conjugado do numerador?

Boa tarde!

Como o domínio da função x\not=\dfrac{5}{3} podemos analisar se neste ponto teremos a função tendendo ao infinito (pela esquerda e pela direita).
\lim_{x\to\dfrac{5}{3}^{+}}\;\dfrac{\sqrt{2x^2+1}}{3x-5}=+\infty
e
\lim_{x\to\dfrac{5}{3}^{-}}\;\dfrac{\sqrt{2x^2+1}}{3x-5}=-\infty

Bom, localizamos a assíntota vertical.

Agora, a horizontal:
\dfrac{\sqrt{2x^2+1}}{3x-5}=\dfrac{\sqrt{x^2\cdot\left(2+\dfrac{1}{x^2}\right)}}{x\cdot\left(3-\dfrac{5}{x}\right)}=\dfrac{|x|\sqrt{2+\dfrac{1}{x^2}}}{x\cdot\left(3-\dfrac{5}{x}\right)}

Veja que agora o limite ao infinito dará dois valores:
\lim_{x\to+\infty}\;\dfrac{|x|\sqrt{2+\dfrac{1}{x^2}}}{x\cdot\left(3-\dfrac{5}{x}\right)}=\dfrac{\sqrt{2}}{3}
e
\lim_{x\to-\infty}\;\dfrac{|x|\sqrt{2+\dfrac{1}{x^2}}}{x\cdot\left(3-\dfrac{5}{x}\right)}=-\dfrac{\sqrt{2}}{3}

Então, as assíntotas horizontais são:
y=\pm\dfrac{\sqrt{2}}{3}

Espero ter ajudado!