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Por que a derivada do volume de uma esfera é igual a área?

Por que a derivada do volume de uma esfera é igual a área?

Mensagempor Therodrigou » Ter Abr 09, 2019 05:30

Olá!
Aprendi que a derivada é o ângulo da reta tangente em relação ao eixo x. Mas por que a derivada da fórmula do volume de uma esfera, por exemplo, é exatamente igual a fórmula da área de uma esfera?
Existe alguma explicação ou propriedade da derivada em relação a isso?
Desde já agradeço!
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Re: Por que a derivada do volume de uma esfera é igual a áre

Mensagempor adauto martins » Seg Mai 04, 2020 18:23

de fato,
V'=A \Rightarrow  V=\int_{0}^{r}A dr

como tambem

\int_{0}^{r}A(r)dr=V

pois,

V=V(x,y,z)

volume é funçao das tres variaveis-ordendadas,logo

V=\int_{0}^{z}\int_{0}^{y}\int_{0}^{x}V(x,y,z)dx.dy.dz

entao,

a funçao-derivada é funçao inversa da funçao-integral(mostre isso)

logo

dV/dr=A(r)

dV=A.dr

\int_{0}^{V}dV=\int_{0}^{r}A.dr

V=\int_{0}^{r}A(r)dr...
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Re: Por que a derivada do volume de uma esfera é igual a áre

Mensagempor adauto martins » Seg Mai 04, 2020 19:06

uma correçao

V=\int_{0}^{z}\int_{0}^{y}\int_{0}^{x}f(x,y,z)dx.dy.dz

obrigado...
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Re: Por que a derivada do volume de uma esfera é igual a áre

Mensagempor Therodrigou » Ter Mai 05, 2020 04:25

Obrigado!
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Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: Alucard014 - Dom Ago 01, 2010 18:22

(UNESP - 95) Seja L o Afixo de um Número complexo a=\sqrt{8}+ i em um sistema de coordenadas cartesianas xOy. Determine o número complexo b , de módulo igual a 1 , cujo afixo M pertence ao quarto quadrante e é tal que o ângulo LÔM é reto.


Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: MarceloFantini - Qui Ago 05, 2010 17:27

Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.