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[Derivadas] Assíntotas, pontos de infexão e

[Derivadas] Assíntotas, pontos de infexão e

Mensagempor Laisa » Qua Fev 20, 2019 15:35

Estou com muita dúvida nessas questões, não sou muito boa nessa parte de gráficos e muita coisa como por exemplo pontos de inflexão nunca vi, gostaria de uma ajuda, alguns dos cálculos eu já fiz, por favor me ajudem

1) Assinale a alternativa correta :
( ) Se f é decrescente em seu domínio, então a derivada que de f é negativa em todos os pontos de seu domínio.
( ) Se a derivada segunda de f é positiva em um intervalo e negativa em outro, então f possui um ponto de inflexão.
( )Se f é crescente em seu domínio, então a derivada de f é positiva em um intervalo e negativa em outro, então f não possui ponto de inflexão.
( )A função f(x)=cos(e^-^x) possui uma assíntota horizontal.

Resposta da ultima derivada f(x)=cos(e^-^x)
Utilizo a regra da cadeia u = f(g(x)) -> y'=(g(x)). g'(x)
f(x) cos = sen
f(x) e^-^x = e^-^x
f'(x)=e^{-x}\sen \left(e^{-x}\right) ( Não sei se está certo também )



2) Considere a seguinte situação: o raio e altura de um cilindro estão variando de modo que seu volume não se altera.
( )A taxa de variação da altura e raio são constantes.
( ) A área total do cilindro está aumentando.
( ) A área da superfície do cilindro também se mantém constante.
( )Se a altura está aumentando, a taxa de variação da altura do cilindro é maior que a taxa de variação do raio do cilindro.

3)Considere a funçãof(x)=sen(4x)/3x
( ) A função f é uma função ímpar.
( ) A função f é uma função par.
( ) A função f possui uma assíntota vertical.
( ) A função f possui uma assíntota horizontal.

Resolvendo a derivada f(x)=sen(4x)/3x
Derivo utilizando a regra da cadeia u = f(g(x)) -> y'=(g(x)). g'(x)
f'(x) sen = cos
f'(x) 4x = 4
f'(x) =  cos 4x . 4/ 3x
Gostaria de saber se essa resposta está correta e que me ajudem a saber qual opção ela é.

4)Considere a funçãof(x)=1/x
( ) Existem pontos no gráfico e nos quais a reta tangente é horizontal.
( ) A função f possui um número par de pontos críticos.
( )Como a derivada de f é negativa em todo seu domínio, a função f é uma função decrescente.
( ) O Gráfico f possui um ponto de inflexão.

Resolvendo a derivada f(x)=1/x
Primeiro aplico a regra do expoente \quad \frac{1}{a}=a^{-1}
f(x) = x^-^1
Aplico a regra (x^p)\right=p\cdot x^{p-1}
E obtenho o resultado: f'(x)=-1\cdot \:x^{-1-1} = -1/x^2
Agora a parte de fazer os gráficos eu não sei muito bem

5) Esboce o gráfico da função
f(x) = e^x/x-1
explicitando o domínio da função, os interceptos (casos existam) com os e
ixos, as assíntotas (caso existam),
estudo do crescimento/decrescimento e estudo da concavidade da função.
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Re: [Derivadas] Assíntotas, pontos de infexão e

Mensagempor rcompany » Qua Fev 20, 2019 18:49

f(x)=\cos{e^{-x}

f \text{ \'e a composi\c c\~ao de tr\^es fun\c c\~oes:}\\ a: x \mapsto -x\\b: t\mapsto e^t\\c: u\mapsto \cos{u}

f=c\circ b\circ a \\ \text{ e }(c\circ b \circ a)'(x)=c'((b\circ a)(x))\times (b\circ a)'(x)=c'((b\circ a)(x))\times b'(a(x))\times a'(x)

\text{No caso de f:}\\
f'(x)= -\sin{e^{-x}}\times e^{-x} \times (-1) = e^{-x}\sin{e^{-x}} \\\text{ que implora gritando pela mundan\c ca de vari\'avel } t=e^{-x} \\ \text{para ter uma fun\c c\~ao usual bem conhecida}
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Re: [Derivadas] Assíntotas, pontos de infexão e

Mensagempor rcompany » Qua Fev 20, 2019 19:48

f(x)=\dfrac{\sin{4x}}{3x}

regras básicas de deriva\c c\~ao: \Big (\dfrac{u}{v}\Big)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\quad e \quad (u\circ v)'=u'(v)\times v'

\begin{array}{rl} \mathcal{D}_{\!f}=\mathbb{R}^*\\f'(x)&=\dfrac{((\cos{4x})\times 4)\times (3x) - (\sin{4x}) \times (3)}{(3x)^2}\\[\bigskipamount]&=\dfrac{4x\cos{4x}-\sin{4x}}{3x^2}\end{array}

E \lim_{x\to +\infty}f'(x)=0

f\text{ é par se }\forall x \in \mathcal{D}_{\!f}, f(-x)=f(x)

f\text{ é impar se }\forall x \in \mathcal{D}_{\!f}, f(-x)=-f(x)

Deixo você ver qual se aplica à f
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Re: [Derivadas] Assíntotas, pontos de infexão e

Mensagempor rcompany » Qua Fev 20, 2019 20:09

4) f(x)=\dfrac{1}{x}

Primeiro isso é uma função usual. Deve saber de cor que \Big (\dfrac{1}{x} \Big )'=-\dfrac{1}{x^2} e também que se u é uma função derivável e não-nula então \Big (\dfrac{1}{u}\Big )'=\dfrac{-u'}{u^2}. Não precisa passar pela derivada de uma potência.

Segundo, tudo nesse item 4 é trivial. Sugiro uma releitura do seu material de aula...derivadas, variação de uma função, pontos críticos, tangentes à uma curva, limites e assintotas etc... Alias o estudo completo da função f:x\mapsto \dfrac{1}{x} deve estar em algum lugar nos seus livros de aula.
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1) Para que os pontos (1,3) e (-3,1) pertençam ao grafico da função f(X)=ax + b ,o valor de b-a deve ser ?

2)Qual o maior valor assumido pela função f : [-7 ,10] em R definida por f(x) = x ao quadrado - 5x + 9?

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1)Dados dois pontos A=(1,3) e B=(-3,1) de uma reta, é possivel definir a sua equação.

y_{b}-y_{a}=m(x_{b}-x_{a})

1-3=m(-3-1) \Leftrightarrow -2=-4m \Leftrightarrow m=\frac{2}{4} \Leftrightarrow m=\frac{1}{2}

Em y=mx+b substitui-se m, substitui-se y e x por um dos pares ordenados, e resolve-se em ordem a b.

3=\frac{1}{2} \cdot 1+b\Leftrightarrow 3-\frac{1}{2}=b \Leftrightarrow b=\frac{5}{2}



2)Na equação y=x^2-5x+9 não existem zeros.Senão vejamos

Completando o quadrado,

(x^2-5x+\frac{25}{4})+9-\frac{25}{4} =0\Leftrightarrow (x-\frac{5}{2})^2+\frac{11}{4}=0

As coordenadas do vertice da parabola são (\frac{5}{2},\frac{11}{4})

O eixo de simetria é a reta x=\frac{5}{2}.Como se pode observar o vertice está acima do eixo Ox, estando parabola virada para cima, o vertice é um mínimo absoluto.Então basta calcular a função para os valores dos extremos do intervalo.

f(-7)=93
f(10)=59