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Integrais Parciais

Integrais Parciais

Mensagempor dark_slack » Sáb Dez 15, 2018 11:29

bom dia,
quero resolver esta integral de fração parcial que não consigo achar uma solução:

\int_{}^{}\frac{x^{2}-3x+5}{3x^{3}+x^{2}+x} dx

Quero a atenção de todos!
Obrigado.
dark_slack
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Re: Integrais Parciais

Mensagempor Gebe » Sáb Dez 15, 2018 22:25

\\
\frac{x^2-3x+5}{3x^3+x^2+x}\\
\\
\frac{x^2-3x+5}{x.(3x^2+x+1)}\\
\\
\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{3x^2+x+1}\\
\\
A(3x^2+x+1)+Bx^2+Cx=x^2-3x+5\\
\\
1.A=5\;\rightarrow\;A=5\\
\\
3.A+B=1\;\rightarrow\;B=1-15=-14\\
\\
1.A+1.C=-3\;\rightarrow\;C=-3-5=-8

A integral fica:
\int\;\left(\frac{5}{x}-\frac{14x+8}{3x^2+x+1}\right)dx

O termo \frac{5}{x} da integral é simples de resolver, vamos então nos concentrar no segundo termo:
\int\;-\frac{14x+8}{3x^2+x+1}dx\\
\\
-2\int\;\frac{7x+4}{3x^2+x+1}dx\\
\\
Completando\;quadrado\;no\;denominador:\\
\\
3x^2+x+1\;\;=\;\;3\left(x+\frac{1}{6}\right)^2+\frac{11}{12}\\
\\
-2\int\;\frac{7x+4}{3\left(x+\frac{1}{6}\right)^2+\frac{11}{12}}dx\\
\\
-\frac{2}{3}\int\;\frac{7x+4}{\left(x+\frac{1}{6}\right)^2+\frac{11}{36}}dx\\
\\
Utilizando \;o \;metodo\; da\; substituicao:\\
\\
u=x+\frac{1}{6}\\
du=dx\\
\\
-\frac{2}{3}\int\;\frac{7u+\frac{17}{6}}{\left(u\right)^2+\frac{11}{36}}dx\\
\\
-\frac{2}{3}\left(\int\;\frac{7u}{\left(u\right)^2+\frac{11}{36}}dx+\int\;\frac{\frac{17}{6}}{\left(u\right)^2+\frac{11}{36}}dx\right)

-\frac{2}{3}\left(\int\;\frac{7u}{\left(u\right)^2+\frac{11}{36}}dx+\int\;\frac{\frac{17}{6}}{\left(u\right)^2+\frac{11}{36}}dx\right)\\
\\
pela\;tabela\;de\;integrais:\\
\int\;\frac{\frac{17}{6}}{\left(u\right)^2+\frac{11}{36}}dx=\frac{17}{6}.\frac{1}{\sqrt{\frac{11}{36}}}.arctg\left(\frac{u}{\sqrt{\frac{11}{36}}}\right)=\frac{17}{\sqrt{11}}.arctg\left(\frac{u}{\sqrt{\frac{11}{36}}}\right)\\
\\
\\Por \;substituicao:\\\\
\int\;\frac{7u}{\left(u\right)^2+\frac{11}{36}}dx=\frac{7}{2}\int\;\frac{2dx}{\left(u\right)^2+\frac{11}{36}}=\frac{7}{2}ln\left|u^2+\frac{11}{46}\right|

-\frac{2}{3}\left(\int\;\frac{7u}{\left(u\right)^2+\frac{11}{36}}dx+\int\;\frac{\frac{17}{6}}{\left(u\right)^2+\frac{11}{36}}dx\right)\\
\\
pela\;tabela\;de\;integrais:\\
\int\;\frac{\frac{17}{6}}{\left(u\right)^2+\frac{11}{36}}dx=\frac{17}{6}.\frac{1}{\sqrt{\frac{11}{36}}}.arctg\left(\frac{u}{\sqrt{\frac{11}{36}}}\right)=\frac{17}{\sqrt{11}}.arctg\left(\frac{u}{\sqrt{\frac{11}{36}}}\right)\\
\\
\\Por \;substituicao:\\\\
\int\;\frac{7u}{\left(u\right)^2+\frac{11}{36}}dx=\frac{7}{2}\int\;\frac{2dx}{\left(u\right)^2+\frac{11}{36}}=\frac{7}{2}ln\left|u^2+\frac{11}{46}\right|
\\\\
Juntando\; tudo,\; temos:\\
\\
\int\;\frac{5}{x}dx-\frac{2}{3}\left(\frac{17}{\sqrt{11}}.arctg\left(\frac{u}{\sqrt{\frac{11}{36}}}\right)\;+\;\frac{7}{2}ln\left|u^2+\frac{11}{46}\right|\right)\\
\\
5.ln|x|-\frac{34}{3\sqrt{11}}.arctg\left(\frac{u}{\sqrt{\frac{11}{36}}}\right)-\frac{21}{4}ln\left|u^2+\frac{11}{46}\right|\right)
\\
\\
Voltando \;a \;substituicao\; de\; u:
\\

5.ln|x|-\frac{34}{3\sqrt{11}}.arctg\left(\frac{x+\frac{1}{6}}{\sqrt{\frac{11}{36}}}\right)-\frac{21}{4}ln\left|\left(x+\frac{1}{6}\right)^2+\frac{11}{46}\right|\right)

Confira os calculos!
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Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: zig - Sex Set 23, 2011 13:57

{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[5]}{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[2]{5}}


Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: Vennom - Sex Set 23, 2011 21:41

zig escreveu:{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[5]}{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[2]{5}}


Rpz, o negócio é o seguinte:
Quando você tem uma potência negativa, tu deve inverter a base dela. Por exemplo: {\frac{1}{4}}^{-1} = \frac{4}{1}

Então pense o seguinte: a fração geratriz de 0,05 é \frac{1}{20} , ou seja, 1 dividido por 20 é igual a 0.05 . Sendo assim, a função final é igual a vinte elevado à meio.
Veja: {0,05}^{-\frac{1}{2}} = {\frac{1}{20}}^{-\frac{1}{2}} = {\frac{20}{1}}^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{20}

A raiz quadrada de vinte, você acha fácil, né?

Espero ter ajudado.


Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: fraol - Dom Dez 11, 2011 20:23

Nós podemos simplificar, um pouco, sqrt(20) da seguinte forma:

sqrt(20) = sqrt(4 . 5) = sqrt( 2^2 . 5 ) = 2 sqrt(5).

É isso.


Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: fraol - Dom Dez 11, 2011 20:24

Nós podemos simplificar, um pouco, \sqrt(20) da seguinte forma:

\sqrt(20) = \sqrt(4 . 5) = \sqrt( 2^2 . 5 ) = 2 \sqrt(5).

É isso.