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Polinômio de Taylor de ordem 2

Polinômio de Taylor de ordem 2

Mensagempor Maisa_Rany » Seg Nov 19, 2018 16:53

Boa tarde! Podem me ajudar com a questão abaixo, por favor?

Encontre o Polinômio de Taylor de ordem 2 da função f(x,y) = e^x.cos y no ponto(0,0).

(_) Q(x, y) = 1 + x + 1/2 x^2 + 1/2 y^2
(_) Q(x, y) = 1 + x - 1/2 x^2 + 1/2 y^2
(_) Q(x, y) = x + 1/2 x^2 - 1/2 y^2
(_) Nenhuma das outras alternativas.
(_) Q(x, y) = 1 + x + x^2 - y^2
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Re: Polinômio de Taylor de ordem 2

Mensagempor Gebe » Ter Nov 20, 2018 00:38

Para um polinomio de ordem 2, vamos precisar de algumas derivadas parciais, logo vamos calcula-las previamente assim como o seus valores no ponto (0,0):
\\
\frac{\partial f}{\partial x}=e^xcos(y)=e^0cos(0)=1\\
\\
\frac{\partial f}{\partial y}=-e^xsen(y)=-e^0sen(0)=0\\
\\
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=e^xcos(y)=e^0cos(0)=1\\
\\
\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=-e^xcos(y)=-e^0cos(0)=-1\\
\\
\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}=-e^xcos(y)=-e^0cos(0)=-1

O polinomio de ordem 2 é dado por:
\\
Q(x,y)= f(x_o,y_o)+\frac{\partial f}{\partial x}(x_o,y_o)(x-x_o)+\frac{\partial f}{\partial y}(x_o,y_o)(y-y_o)+\frac{1}{2!}\left(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x_o,y_o)(x-x_o)^2+2 \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(x_o,y_o)(x-x_o)(y-y_o)+ \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x_o,y_o)(y-y_o)^2 \right)


\\Q(x,y) = 1 + 1.(x-0) + 0.(y-0) + \frac{1}{2}.\left(1.(x-0)^2+2.(-1).(x-0)(y-0)+(-1).(y-0)^2)\right)


\\Q(x,y) = 1 + x + \frac{1}{2}.\left(x^2-2xy-y^2\right)\\\\Q(x,y) = 1 + x + \frac{x^2}{2}-xy-\frac{y^2}{2}

Alternativa D (nenhuma deas alternativas)
Obs.: Confira os calculo, como fiz diretamente no LaTEX posso ter deixado passar algo.
Qualquer duvida deixe msg
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Re: Polinômio de Taylor de ordem 2

Mensagempor Maisa_Rany » Ter Nov 20, 2018 16:26

Muito obrigada! Irei acompanhar os cálculos.
Tem outra questão: De forma geral, o PIB, P, é função destas duas variáveis: L e K: P = P(L,K). No ano de 1920, os dados da economia americana mostravam que αP/αL= 0,9 e αP/αK=0,15. Naquele ano, um incremento de 30% nos investimentos de trabalho e 10% em capital trariam um crescimento do PIB de:
(_) 20%
(_) 30%
(_) Nenhuma das outras alternativas.
(_) 28,5%
(_) 25%

Pode me ajudar com esta também?
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(UNESP - 95) Seja L o Afixo de um Número complexo a=\sqrt{8}+ i em um sistema de coordenadas cartesianas xOy. Determine o número complexo b , de módulo igual a 1 , cujo afixo M pertence ao quarto quadrante e é tal que o ângulo LÔM é reto.


Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: MarceloFantini - Qui Ago 05, 2010 17:27

Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.