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Regra da cadeia para derivadas parciais

Regra da cadeia para derivadas parciais

Mensagempor Maisa_Rany » Qua Nov 07, 2018 16:47

Boa tarde! Alguém sabe me explicar como funciona o passo a passo da regra da cadeia para derivadas parciais? Obrigada!
Maisa_Rany
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Re: Regra da cadeia para derivadas parciais

Mensagempor Gebe » Qua Nov 07, 2018 18:25

É bem semelhante ao feito pra uma variavel.
Quando temos uma variavel, utilizando, por exemplo, a função y=sen\left( 2x^2 \right), procedemos da seguinte forma:

-> Identificamos as funções:
y(z) = sen\left( z(x))

z(x) = 2x^2

-> Aplicamos a regra da cadeia multiplicando as derivadas de cada função identificada em relação a sua variavel correspondente:
\\
\frac{d}{dx}\left( sen\left( 2x^2 \right) \right)=\frac{d}{dz}sen(z(x))*\frac{d}{dx}\left(2x^2 \right)=cos\left(z(x) \right)*4x=4xcos\left(2x^2 \right)

No caso das derivadas parciais podemos ter funções com mais de uma variavel.
Cada variavel vai definir um caminho de derivação;
Em cada um destes caminhos vamos aplicar a regra da cadeia de uma variavel e ao fim somamos os varios caminhos.
Veja o exemplo:
\\
z=sen\left(2x + y^2 \right)\\
\\
Sendo\; que\; x=t^3\;e\;y=t\\
\\
Calcular\; dz/dt

z(x,y) está em função de x e y, logo podemos ter dois caminhos de derivação.

1° caminho por x : "x" é variavel e "y" é constante.
2° caminho por y : "y" é variavel e "x" é constante.

Seja h = 2x+y²

Aplicando a regra da cadeia no 1° caminho:
\\
\frac{d}{dt}z(h)=\frac{d}{dh}\left(sen\left(h(x,y) \right) \right)*\frac{d}{dx}\left(2x+y^2 \right)*\frac{d}{dt}x\\
\\
\frac{d}{dt}z(h)=cos\left(h(x,y) \right)*2*3t^2=6t^2 cos\left(2x+y^2 \right)=6t^2 cos\left(2t^3+t^2 \right)

Aplicando a regra da cadeia no 2° caminho:
\\
\frac{d}{dt}z(h)=\frac{d}{dh}\left(sen\left(h(x,y) \right) \right)*\frac{d}{dy}\left(2x+y^2 \right)*\frac{d}{dt}y\\
\\
\frac{d}{dt}z(h)=cos\left(h(x,y) \right)*2y*1=2y cos\left(2x+y^2 \right)=)=2tcos\left(2t^3+t^2 \right)

Somando-se os dois caminhos:
\\
\frac{d}{dt}\left(sen\left(2x+y^2 \right)=6t^2 cos\left(2t^3+t^2 \right)+2tcos\left(2t^3+t^2 \right)=2tcos\left(2t^3+t^2 \right)*\left(3t+1 \right)\\
\\

Espero que tenha ajudado, qualquer duvida deixe msg.
Gebe
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Re: Regra da cadeia para derivadas parciais

Mensagempor Maisa_Rany » Qui Nov 08, 2018 16:33

Muito obrigada por compartilhar o conhecimento. Vou praticar para compreender melhor o assunto.
Att.
Maísa.
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(UNESP - 95) Seja L o Afixo de um Número complexo a=\sqrt{8}+ i em um sistema de coordenadas cartesianas xOy. Determine o número complexo b , de módulo igual a 1 , cujo afixo M pertence ao quarto quadrante e é tal que o ângulo LÔM é reto.


Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
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Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.