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problema basico de fisica usando derivadas

problema basico de fisica usando derivadas

Mensagempor iksin » Ter Set 11, 2018 16:29

Pessoal, estou com dificuldades nessa questão. Pensei em utilizar a função horaria do espaço, mas sua derivada não daria o que o problema pede. Sinceramente não sei como resolver, se alguem puder me dar uma dica do que fazer ficaria imensamente grato. :$ :$ :$ :$
Um homem em um barco a remo se encontra a 5 km do ponto mais próximo de A, situado as margens,que é reta e deseja alcançar o ponto B, a 6 km de A, ao longo da margem, no mais curto espaço de tempo.Onde deverá atracar sabendo que pode remar a 2 km/h e andar a 4 km/h?
iksin
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Re: problema basico de fisica usando derivadas

Mensagempor Gebe » Ter Set 11, 2018 17:38

Bem, na minha opnião o enunciado não é claro quanto a situação, no entanto acho que o entuito era o que represento no desenho abaixo.
Ps.: percebi só agora que o "6Km" ficou mal posicionado. O "6Km" é a distancia AB e não AX :y:
Sem título.png
Sem título.png (3.42 KiB) Exibido 494 vezes


No desenho veos que o rapaz está em uma margem de um rio com largura de 5Km e quer chegar em um ponto B a 6Km do ponto A localizados na outra margem.
Como vemos no desenho, a linha da trajetoria do barco o ponto onde vai atracar (x) forma um triangulo retangulo, sendo 'h' a hipotenusa.
Perceba tambem que a diferença (6-x) representa a distancia que será percorrida andando.
teremos então que a distancia total percorrida será dada por h + (6-x) como mostrado abaixo:
\\
Distancia\;total=h+(6-x)\\
\\
Distancia\;total=\sqrt[]{x^2+5^5} + (6-x)\\
\\
Distancia\;total=\sqrt[]{x^2+25} + (6-x)

Como estamos interessados no tempo, vamos dividir cada trecho pela sua respectiva velocidade:
\\
t(x)=\frac{Dist_{barco}}{Vel_{barco}} + \frac{Dist_{pe}}{Vel_{pe}}\\
\\
t(x) = \frac{\sqrt[]{x^2+25}}{2} + \frac{(6-x)}{4}

Por fim temos que achar 'x' que minimiza o tempo gasto. Para isso igualamos a derivada primeira da função t(x):
\\
\frac{d\left( t(x) \right)}{dx}=\frac{x}{2\sqrt[]{x^2+25}}-1/4\\
\\
\frac{x}{2\sqrt[]{x^2+25}}-1/4=0\\
\\
4x^2 = x^2+25\\
\\
x = \frac{5\sqrt[]{3}}{3}

Espero ter ajudado, bons estudos.
Gebe
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}