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por ezidia51 » Sex Set 07, 2018 17:21
Alguém sabe como resolver estes problemas usando derivadas?
1-Uma peça de formato cilíndrico está em processo de aquecimento e, neste processo, está se dilatando. Suas dimensões estão variando da maneira que segue: quando o raio da base r=r(t) vale 8 cm , ele está aumentando a uma taxa de 1 cm/s e, neste instante, a altura vale 10 cm e está aumentando a uma taxa de 3 cm/s.
Calcule a taxa de variação do volume do cilindro neste instante. Adote pi=3
2-Num acidente ecológico em que ocorreu vazamento de óleo de um navio cargueiro, os especialistas envolvidos no evento detectaram que a mancha de óleo era de formato aproximadamente circular e que, num determinado instante, o raio desta mancha era de 300 m e aumentava a uma taxa de 20m/h. Calcule a que velocidade aumentava a área da mancha neste instante. Adote ..pi=3
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por Gebe » Sex Set 07, 2018 22:49
1) O volume do cilindro varia em
função do Raio e da Altura. O raio e a altra por sua vez variam em
função do tempo.
Perceba que para achar a variação do volume no tempo, precisaremos na verdade achar a sua variação em relação ao raio e a altura.
Podemos fazer isto aplicando a regra da cadeia:
![\\
\frac{d\left(V(t) \right)}{dt} = \frac{d(V\left(R(t), H(t) \right)}{dt}\\
\\
\frac{d(V\left(R(t), H(t) \right)}{dt} = \frac{dV}{dR}*\frac{dR}{dt}+\frac{dV}{dH}*\frac{dH}{dt}\\
\\ \\
\frac{d\left(V(t) \right)}{dt} = \frac{d(V\left(R(t), H(t) \right)}{dt}\\
\\
\frac{d(V\left(R(t), H(t) \right)}{dt} = \frac{dV}{dR}*\frac{dR}{dt}+\frac{dV}{dH}*\frac{dH}{dt}\\
\\](/latexrender/pictures/30f2197c5d65341399d5c38f87ad81d4.png)
Como ja temos a variação do volume com o tempo e da altura com o tempo, basta avaliarmos dV/dR e dV/dH
![\\
\frac{dV}{dR} = 2\pi*r*h\\
\\
\frac{dV}{dH} = \pi*r^2\\ \\
\frac{dV}{dR} = 2\pi*r*h\\
\\
\frac{dV}{dH} = \pi*r^2\\](/latexrender/pictures/c7268e8d4366003a179d1ff6d7df1758.png)
Por fim, temos os valores de R e H no momento de observação:
![\\
\frac{dV}{dt} = (2*\pi*8*10)*1cm/s + (\pi*8^2)*3cm/s = 1056cm^3/s \\
\frac{dV}{dt} = (2*\pi*8*10)*1cm/s + (\pi*8^2)*3cm/s = 1056cm^3/s](/latexrender/pictures/533a8deb4a36cd051dacde75415cb8aa.png)
2)Seguindo a mesma linha do anterior, teremos:
![\\
\frac{d\left(A(t) \right)}{dt} = \frac{d(A\left(R(t) \right)}{dt}\\
\\
\frac{d(A\left(R(t) \right)}{dt} = \frac{dA}{dR}*\frac{dR}{dt}\\
\\ \\
\frac{d\left(A(t) \right)}{dt} = \frac{d(A\left(R(t) \right)}{dt}\\
\\
\frac{d(A\left(R(t) \right)}{dt} = \frac{dA}{dR}*\frac{dR}{dt}\\
\\](/latexrender/pictures/ad902fbcd1aa2764ce80e26401b4ec61.png)
Como ja temos a variação da area com o tempo , basta avaliarmos dA/dR
![\\
\frac{dA}{dR} = 2\pi*r\\
\\ \\
\frac{dA}{dR} = 2\pi*r\\
\\](/latexrender/pictures/47237ed4ea0130cc324375d12c3abcd1.png)
Por fim, temos os valores de R no momento de observação:
![\\
\frac{dA}{dt} = (2*\pi*300)*20m/h = 36000m^2/h \\
\frac{dA}{dt} = (2*\pi*300)*20m/h = 36000m^2/h](/latexrender/pictures/563e0067e15eaa47e7b57663285158a1.png)
Espero ter ajudado, qualquer duvida deixe msg.
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por ezidia51 » Sáb Set 08, 2018 19:47
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por ezidia51 » Sáb Set 08, 2018 20:57
Você poderia dar uma olhada nestes cálculos de derivada que eu fiz.Fiquei com dúvida na derivada terceira função.Obrigada
- Anexos
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por Gebe » Dom Set 09, 2018 00:45
1) Tua resolução está certa, mas tu marcou a alternativa errada. Se simplificar a fração dará a alternativa (a).
2) Certo
3) Certo se o "-3x^2sen(x^3)" estiver fora da resposta.
4) Certo
Bons estudos!
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por ezidia51 » Dom Set 09, 2018 15:15
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por Gebe » Dom Set 09, 2018 15:29
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por ezidia51 » Seg Set 10, 2018 19:43
Olá vc poderia me ajudar com este exercício de gráfico.Estou meia confusa em como montar os cálculos?
- Anexos
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![P_20180910_183001.jpg (1.97 MiB) Exibido 55557 vezes P_20180910_183001.jpg](./download/file.php?id=2704&t=1&sid=01ca3eb741af056b6b1dc83d924f7a33)
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por ezidia51 » Seg Set 10, 2018 19:46
Segue aqui o gráfico referente as questões.Se vc puder me ajudar eu agradeço muito.
- Anexos
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![P_20180910_182936.jpg (1.62 MiB) Exibido 55557 vezes P_20180910_182936.jpg](./download/file.php?id=2706&t=1&sid=01ca3eb741af056b6b1dc83d924f7a33)
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por Gebe » Ter Set 11, 2018 05:00
4)
Vamos primeiro achar a relação entre os dois triangulos retangulos que destaco na figura.
![\\
\frac{y-2}{4} = \frac{2}{x-4}\\
\\
(y-2)(x-4) = 2*4\\
\\
yx-4y-2x+8 = 8\\
\\
y(x-4) = 2x\\
\\
y = \frac{2x}{x-4} \\
\frac{y-2}{4} = \frac{2}{x-4}\\
\\
(y-2)(x-4) = 2*4\\
\\
yx-4y-2x+8 = 8\\
\\
y(x-4) = 2x\\
\\
y = \frac{2x}{x-4}](/latexrender/pictures/700065f52e100443dbfb0c19ec445d65.png)
Agora perceba que temos 'y' em
função de 'x', logo basta substituirmos esta espressão na formula da area:
![\\
A(x) = \frac{xy}{2}\\
\\
A(x) = \frac{\left( \frac{2x}{x-4}\right)*x}{2}\\
\\
A(x) = \frac{x^2}{x-4} \\
A(x) = \frac{xy}{2}\\
\\
A(x) = \frac{\left( \frac{2x}{x-4}\right)*x}{2}\\
\\
A(x) = \frac{x^2}{x-4}](/latexrender/pictures/53c480b14cac31c2bda5525cb6b53e7a.png)
5)
Para minimizar a area vamos utilizar a derivada primeira de A(x) e igualar a zero:
![\\
\frac{dA(x)}{dx} = 0\\
\\
\frac{dA(x)}{dx} = \frac{2x(x-4)-x^2}{(x-4)^2}=\frac{x^2-8x}{(x-4)^2}\\
\\
Para\;que\;\frac{dA(x)}{dx} = 0\;\rightarrow\;x^2-8x = 0\\
\\
x^2-8x = 0\\
\\
x(x-8) = 0\\
\\
x_1=0\;\;x_2 = 8 \\
\frac{dA(x)}{dx} = 0\\
\\
\frac{dA(x)}{dx} = \frac{2x(x-4)-x^2}{(x-4)^2}=\frac{x^2-8x}{(x-4)^2}\\
\\
Para\;que\;\frac{dA(x)}{dx} = 0\;\rightarrow\;x^2-8x = 0\\
\\
x^2-8x = 0\\
\\
x(x-8) = 0\\
\\
x_1=0\;\;x_2 = 8](/latexrender/pictures/0d2bb9b20c44aa7d04420b806aea00d2.png)
x = 0 pode ser descartado e ficamos com o x = 8.
Este x = 8 vai ser o ponto da reta com ordenada nula (y = 0). Temos agora dois pontos (4 , 2) e (8 , 0).
Vamos achar a equação da reta que une estes pontos:
Coef. angular = (4 - 8) / (2 - 0) = -0.5
Eq. da reta: (y - 0) = -0.5 (x - 8)
Eq. da reta: y = -0.5x + 4 ou y = -x/2 + 4
Bons estudos!
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por ezidia51 » Ter Set 11, 2018 19:25
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por Gebe » Qua Set 12, 2018 04:43
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por ezidia51 » Qua Set 12, 2018 22:20
Olá vc poderia me ajudar e ver se eu fiz estes exercícios corretamente?Muito Obrigada
- Anexos
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![P_20180912_211408.jpg (1.18 MiB) Exibido 55475 vezes P_20180912_211408.jpg](./download/file.php?id=2709&t=1&sid=01ca3eb741af056b6b1dc83d924f7a33)
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por Gebe » Qui Set 13, 2018 12:55
1)
Certo, considerando que seja "-3x³" e não "-3x²" como está escrito. A alternativa, no entanto, pode ser ambigua, porque não deixa claro se está considerando o 0 um minimo local ou global. Logo convém destacar que 0 é minimo local.
2)
Errado
A função é decrescente quando sua derivada primeira é negativa e crescente quando é positiva.
f(x) = x³ - 9x² + 12
f '(x) = 3x² - 18x
Para que f '(x) < 0 (decrescente) :
3x² - 18x < 0
Como estamos tratando de uma função quadratica de concavidade voltada para cima ('a' > 0) e com Delta > 0 (Delta = 324), sabemos que os valores negativos acontecem entre as duas raizes, ou seja, no intervalo aberto (0 , 6).
3)
Certo
4)
Certo
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por ezidia51 » Qui Set 13, 2018 18:54
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por Gebe » Qui Set 13, 2018 18:57
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por ezidia51 » Sex Set 14, 2018 16:05
Você poderia me ajudar com estas 3 questões porque não consegui entender o enunciado.Todas as 3 perguntas estão baseadas no enunciado da função,mas não consegui entender por causa do número 2 na chave.Obrigado
- Anexos
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![P_20180914_145900.jpg (1.43 MiB) Exibido 55430 vezes P_20180914_145900.jpg](./download/file.php?id=2715&t=1&sid=01ca3eb741af056b6b1dc83d924f7a33)
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por Gebe » Sex Set 14, 2018 16:38
O enunciado só está destacando que "x = 2" não está no dominio da função. Perceba que se tentarmos jogar o valor 2 na função teremos uma divisão por 0 (zero).
Outra forma, que se acha mais comumente do enunciado é: "f R - {2} -> R" (com sinal de subtração).
Resposta: letra a
Vale ressaltar também que, embora o 2 não esteja no dominio, podemos avaliar como a função se comporta perto desse valor tomando-se o limite.
Assim que puder vejo as outras questões (escrevendo do celular).
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por ezidia51 » Sex Set 14, 2018 17:55
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por Gebe » Sex Set 14, 2018 20:17
Complementando a 1ª questão:
Nos dois primeiros limites, com tendência a +infinito e menos infinito temos uma indeterminação (inf/inf e -inf/-inf).
Podemos utilizar l'Hopital para resolve-la derivando numerador e denominador. Com isso, nos dois casos chegamos ao resultado do limite igual a 2/3.
O dois outros limites, limite lateral pela direita e pela esquerda respectivamente tendendo a 2, podem ser interpretados assim:
Se pegarmos um valor ligeiramente menor que 2, digamos 1.999999999, e substituirmos na
função veremos que a tendência é de atingir um valor negativo grande, ou seja, ao nos aproximarmos de 2 pela esquerda a
função tenderá a -infinito. De forma semelhante ao nos aproximarmos pela direita a
função tenderá a +infinito.
2) Como as alternativas afirmam quanto a inclinação da curva (crescente/decrescente), vamos avaliar o sinal da derivada primeira. Intervalos de derivada positiva indicam um intervalo crescente, e negativa intervalos decrescentes.
f '(x) = -12/(3x-6)²
O denominador (3x-6)² é sempre positivo, logo a derivada será sempre negativa e, portanto, a curva é decrescente em todo seu domínio. Veja parte dessa curva:
![Sem título.png](./download/file.php?id=2716&sid=01ca3eb741af056b6b1dc83d924f7a33)
- Sem título.png (9.1 KiB) Exibido 55424 vezes
3) As alternativas aqui abordam a concavidade da curva. Como a derivada segunda f ''(x) = 8/[3(x-2)³] não possui zeros (verificar!), ou seja, possíveis inflexões da curva, vamos dividir a analise na sua indeterminação (x=2).
A concavidade é dada pelo sinal da derivada segunda, se positiva a concavidade é para cima, se negativa concavidade para baixo.
Para x<2 a derivada segunda tem valores negativos, logo concavidade para baixo.
Para x>2 a derivada segunda tem valores positivos, logo concavidade para cima.
I -> Errada
II -> Certo
III -> Certo
Qualquer duvida, deixa msg.
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por ezidia51 » Sáb Set 15, 2018 19:41
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por Gebe » Sáb Set 15, 2018 20:34
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por ezidia51 » Ter Set 25, 2018 21:09
Olá ,você poderia olhar estes exercícios para ver se estão corretos?Obrigado
- Anexos
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por Gebe » Ter Set 25, 2018 22:19
1) certo
2a) Tem um erro na integração do "6x^5", fica apenas x^6 e não (x^6)/6.
2b) Aqui tu te enganou ao integrar o "cos(x)". A integral de cos(x) é sen(x) e não -sen(x). Ajuda a lembrar pensando: "Que função ao derivarmos tem como resultado cos(x)".
2c) certo
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por ezidia51 » Ter Set 25, 2018 23:00
Ah entendi!!!Muito obrigado.Então o exercício 2b ficaria sen(x)+cos(x)+C
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por Gebe » Ter Set 25, 2018 23:09
exato, sen(x)+cos(x)+C
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por ezidia51 » Ter Set 25, 2018 23:13
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por ezidia51 » Sex Set 28, 2018 15:05
Olá tudo bem?Você poderia me ajudar a resolver esses problemas envolvendo cálculo de área de gráfico?Fico muito agradecida se vc puder me ajudar.
1-Calcule a área da região abaixo do gráfico da
função ![{5x}^{4}+{x}^{2}-1 {5x}^{4}+{x}^{2}-1](/latexrender/pictures/329c99733efa3667b930113aec5d8e5d.png)
, acima do eixo das abscissas, e entre as retas verticais x=1 e x=3.
2-6-Calcule a área da região limitada pelos gráficos das
funções (Sugestão: Esboce os gráficos de f(x)=x^6 e g(x)=x^2 , determine os pontos de intersecção, marque a região A e descubra qual é o gráfico que limita A por cima e qual é o gráfico que limita A por baixo).
Os exercícios pedem que seja feito um cálculo para expressar essas áreas e eu não sei como fazer.Segue anexo os exercícios.
- Anexos
-
![P_20180928_135246.jpg (1.8 MiB) Exibido 55197 vezes P_20180928_135246.jpg](./download/file.php?id=2729&t=1&sid=01ca3eb741af056b6b1dc83d924f7a33)
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por Gebe » Sex Set 28, 2018 21:42
A area definida por uma (ou mais
funções) pode ser determinada por integração.
A integral de uma
função determina a area entre a sua curva e o eixo das abscissas (quando a
função é dada em "x").
ex.:
![areas.png](./download/file.php?id=2731&sid=01ca3eb741af056b6b1dc83d924f7a33)
- areas.png (6.51 KiB) Exibido 55184 vezes
Observe que no segundo exemplo a integral dará um valor negativo, logo colocamos o sinal negativo na frente.
Uma das consequencias dessa ultima observação é que
funções que tenham parte positiva e parte negativa ( ex.: sen(x) ), devem ser particionadas para uma correta determinação da area. Por exemplo, se tentarmos achar a area entre sen(x) de 0 a 2pi (um periodo inteiro) e o eixo "x" sem particionar previamente o seno acharemos o valor 0.
Com isso dito, a dica é, sempre que possivel, desenhe as curvas antes de começar os calculos.
1) Aqui queremos a area entre a curva dada e o eixo "x". As retas verticais mencionadas são os limites laterais desta area, ou seja, serão os limites de integração.
![area1.png](./download/file.php?id=2732&sid=01ca3eb741af056b6b1dc83d924f7a33)
- area1.png (3.98 KiB) Exibido 55184 vezes
![\\
Area=\int_{1}^{3} \left( 5x^4+x^2-1 \right)dx\\
\\
Area = \left[x^5+\frac{1}{3}x^3-x\right|_{1}^3\\
\\
Area = \left(3^5+\frac{1}{3}3^3-3 \right) - \left(1^5+\frac{1}{3}1^3-1 \right)\\
\\
Area = \frac{746}{3}\approx248.67 \\
Area=\int_{1}^{3} \left( 5x^4+x^2-1 \right)dx\\
\\
Area = \left[x^5+\frac{1}{3}x^3-x\right|_{1}^3\\
\\
Area = \left(3^5+\frac{1}{3}3^3-3 \right) - \left(1^5+\frac{1}{3}1^3-1 \right)\\
\\
Area = \frac{746}{3}\approx248.67](/latexrender/pictures/ed3aed77877c2461e702333a65dcc1e6.png)
2) Perceba aqui que não é dado os limites laterais da area. Estes limites serão dados pela intersecção das duas curvas como pode ser visto no desenho abaixo.
![area2.png](./download/file.php?id=2733&sid=01ca3eb741af056b6b1dc83d924f7a33)
- area2.png (8.6 KiB) Exibido 55184 vezes
obs.: f(x) em vermelho e g(x) em azul
Sabemos que a integral nos da a area entre a curva e o eixo "x", portanto a area destacada (entre as curvas) pode ser escrita como a area da curva que limita superiormente ( g(x) ) subtraindo-se a area da curva que limita inferiormente a a região destacada.
![\\
Area=\int_{}^{} g(x)dx-\int_{}^{} f(x)dx\\ \\
Area=\int_{}^{} g(x)dx-\int_{}^{} f(x)dx\\](/latexrender/pictures/7ae2c124f81ae43ff19719a15562aa59.png)
Para pode calcular essa area precisamos dos limites de integração. Esses limites, como já mencionado, são dados pela intersecção das curvas. Para achar achar estes valores, fazemos:
![\\
g(x)=f(x)\\
\\
x^6 = x^2\\
\\
x^4 = 1\\
\\
x = \pm 1 \\
g(x)=f(x)\\
\\
x^6 = x^2\\
\\
x^4 = 1\\
\\
x = \pm 1](/latexrender/pictures/7f7264037d9da07737c16446eea008cc.png)
![\\
Area=\int_{-1}^{1} g(x)dx-\int_{-1}^{1} f(x)dx\\
\\
Area=\int_{-1}^{1} \left( g(x)-f(x) \right)dx\\
\\
Area=\int_{-1}^{1}\left(x^2-x^6 \right)dx\\
\\
Area=\left(\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{7}x^7\right|_{-1}^1\\
\\
Area=\left(\frac{1}{3}1^3-\frac{1}{7}1^7 \right)-\left(\frac{1}{3}(-1)^3-\frac{1}{7}(-1)^7 \right)\\
\\
Area=\frac{8}{21}\approx0.381 \\
Area=\int_{-1}^{1} g(x)dx-\int_{-1}^{1} f(x)dx\\
\\
Area=\int_{-1}^{1} \left( g(x)-f(x) \right)dx\\
\\
Area=\int_{-1}^{1}\left(x^2-x^6 \right)dx\\
\\
Area=\left(\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{7}x^7\right|_{-1}^1\\
\\
Area=\left(\frac{1}{3}1^3-\frac{1}{7}1^7 \right)-\left(\frac{1}{3}(-1)^3-\frac{1}{7}(-1)^7 \right)\\
\\
Area=\frac{8}{21}\approx0.381](/latexrender/pictures/d318d0f4ecf5546ab03dbbc064540add.png)
Qualwuer duvida deixa msg.
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Gebe
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por ezidia51 » Sex Set 28, 2018 22:30
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Ter Mai 08, 2012 17:01
Cálculo: Limites, Derivadas e Integrais
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Assunto:
método de contagem
Autor:
sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 09:10
Veja este exercício:
Se A = {
![x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N](/latexrender/pictures/34ad182f5e1968545df041f5ee1e1e5c.png)
} e B = {
![x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z](/latexrender/pictures/d38f6cf6d7ac2d243b89a739d9527eca.png)
}, então o número de elementos A
![\cap \cap](/latexrender/pictures/2198db912e7df085b4fbdff0c7f8f01c.png)
B é:
Eu tentei resolver este exercício e achei a resposta "três", mas surgiram muitas dúvidas aqui durante a resolução.
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?
No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:
existe oposto de zero?
existe inverso de zero?
zero é par, certo?
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x?
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z?
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z?
A resposta é 3?
Obrigado.
Assunto:
método de contagem
Autor:
Molina - Seg Mai 25, 2009 20:42
Boa noite, sinuca.
Se A = {
![x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N](/latexrender/pictures/34ad182f5e1968545df041f5ee1e1e5c.png)
} você concorda que n só pode ser de 1 a 20? Já que pertence aos naturais?
Ou seja, quais são os divisores de 20? Eles são seis: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Logo, o conjunto A é
A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}
Se B = {
![x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z](/latexrender/pictures/d38f6cf6d7ac2d243b89a739d9527eca.png)
} você concorda que x será os múltiplos de 5 (positivos e negativos)? Já que m pertence ao conjunto Z?
Logo, o conjunto B é
B = {... , -25, -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...
Feito isso precisamos ver os números que está em ambos os conjuntos, que são:
5, 10 e 20 (3 valores, como você achou).
Vou responder rapidamente suas dúvidas porque meu tempo está estourando. Qualquer dúvida, coloque aqui, ok?
sinuca147 escreveu:No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:
existe oposto de zero? sim, é o próprio zero
existe inverso de zero? não, pois não há nenhum número que multiplicado por zero resulte em 1
zero é par, certo? sim, pois pode ser escrito da forma de 2n, onde n pertence aos inteiros
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x? Sim, pois basta pegar x e multiplicar por -1 que encontramos -x
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z? Sim, tais perguntando se todo número é multiplo de si mesmo
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z? Sim, pois basta pegar -z e multiplicar por -1 que encontramos x
A resposta é 3? Sim, pelo menos foi o que vimos a cima
Bom estudo,
![OK :y:](./images/smilies/thumbs_up.gif)
Assunto:
método de contagem
Autor:
sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 23:35
Obrigado, mas olha só este link
http://www.colegioweb.com.br/matematica ... ro-natural
neste link encontra-se a a frase:
Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.
Para determinarmos os múltiplos de 15, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão dos números naturais:
Ou seja, de acordo com este link -5 não poderia ser múltiplo de 5, assim como 5 não poderia ser múltiplo de -5, eu sempre achei que não interessava o sinal na questão dos múltiplos, assim como você me confirmou, mas e essa informação contrária deste site, tem alguma credibilidade?
Há e claro, a coisa mais bacana você esqueceu, quero saber se existe algum método de contagem diferente do manual neste caso:
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?
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