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Como calcular a integral indefinida por substituição

Como calcular a integral indefinida por substituição

Mensagempor Therodrigou » Dom Ago 26, 2018 23:13

Olá! alguém poderia me ajudar a cálcular essa integral indefinida por substituição:

\int \frac{_{ }1}{\sqrt{x^2\pm a^2}}^{ }\:dx

Gabarito:

Ln\:|\:x\:+\:\sqrt{x^2\pm a^2}\:|\:+\:k

Obrigado!
Therodrigou
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Re: Como calcular a integral indefinida por substituição

Mensagempor Gebe » Seg Ago 27, 2018 10:40

Parece que tem um erro no gabarito.
Na minha resolução aparece dentro do Ln um fator (1/a) multiplicando.
Vou deixar abaixo e tu da uma conferida e segue tambem um link do wolframalpha onde conferi a solução:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=derivative&assumption=%7B%22F%22,+%22Derivative%22,+%22derivativefunction%22%7D+-%3E%22ln%7Cx%2Fa%2B(1%2Fa)*(x%5E2-a%5E2)%5E(1%2F2)%7C%22&assumption=%7B%22F%22,+%22Derivative%22,+%22derivativevariable%22%7D+-%3E%22x%22&assumption=%7B%22C%22,+%22derivative%22%7D+-%3E+%7B%22Calculator%22%7D

Resolução
Utilizando como base esse esquema:
subs trig.png


Escolhendo trabalhar com o "+a" (pode fazer posteriormente com o "-a" pra ver que só mudará o sinal na raiz):
\\
\sqrt[]{x^2+a^2} = asec\theta\\
\\
x = atg\theta\\
\\
dx = asec^2xd\theta\\
\\
Substituindo\;na\;integral:\\
\\
\int_{}^{}\frac{asec^2xd\theta}{asec\theta}\\
\\
\int_{}^{}sec\theta d\theta\\
\\
Esta\;integral\;é\;tabelada\;e\;igual\;a:\\
\\
Ln|sec\theta+tg\theta|+K\\
\\
Voltando\;com\;os\;valores\;originais:\\
\\
Ln\left| sec\left(sec^-1\left(\frac{\sqrt[]{x^2+a^2}}{a} \right) \right)+tg\left(tg^-1\left( \frac{x}{a} \right) \right)\right|+K\\
\\
\\
Ln\left|\frac{1}{a}\left(\sqrt[]{x^2+a^2} + x \right) \right|+k

Como dito anteriormente, fazendo com "-a²" só vai mudar o sinal do "a²" dentro da raiz.
Espero ter ajudado, bons estudos.
Gebe
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Re: Como calcular a integral indefinida por substituição

Mensagempor Therodrigou » Ter Ago 28, 2018 00:23

vlw!
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Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: zig - Sex Set 23, 2011 13:57

{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[5]}{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[2]{5}}


Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: Vennom - Sex Set 23, 2011 21:41

zig escreveu:{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[5]}{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[2]{5}}


Rpz, o negócio é o seguinte:
Quando você tem uma potência negativa, tu deve inverter a base dela. Por exemplo: {\frac{1}{4}}^{-1} = \frac{4}{1}

Então pense o seguinte: a fração geratriz de 0,05 é \frac{1}{20} , ou seja, 1 dividido por 20 é igual a 0.05 . Sendo assim, a função final é igual a vinte elevado à meio.
Veja: {0,05}^{-\frac{1}{2}} = {\frac{1}{20}}^{-\frac{1}{2}} = {\frac{20}{1}}^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{20}

A raiz quadrada de vinte, você acha fácil, né?

Espero ter ajudado.


Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: fraol - Dom Dez 11, 2011 20:23

Nós podemos simplificar, um pouco, sqrt(20) da seguinte forma:

sqrt(20) = sqrt(4 . 5) = sqrt( 2^2 . 5 ) = 2 sqrt(5).

É isso.


Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: fraol - Dom Dez 11, 2011 20:24

Nós podemos simplificar, um pouco, \sqrt(20) da seguinte forma:

\sqrt(20) = \sqrt(4 . 5) = \sqrt( 2^2 . 5 ) = 2 \sqrt(5).

É isso.


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