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Como calcular a integral indefinida por substituição

Como calcular a integral indefinida por substituição

Mensagempor Therodrigou » Dom Ago 26, 2018 23:13

Olá! alguém poderia me ajudar a cálcular essa integral indefinida por substituição:

\int \frac{_{ }1}{\sqrt{x^2\pm a^2}}^{ }\:dx

Gabarito:

Ln\:|\:x\:+\:\sqrt{x^2\pm a^2}\:|\:+\:k

Obrigado!
Therodrigou
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Re: Como calcular a integral indefinida por substituição

Mensagempor Gebe » Seg Ago 27, 2018 10:40

Parece que tem um erro no gabarito.
Na minha resolução aparece dentro do Ln um fator (1/a) multiplicando.
Vou deixar abaixo e tu da uma conferida e segue tambem um link do wolframalpha onde conferi a solução:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=derivative&assumption=%7B%22F%22,+%22Derivative%22,+%22derivativefunction%22%7D+-%3E%22ln%7Cx%2Fa%2B(1%2Fa)*(x%5E2-a%5E2)%5E(1%2F2)%7C%22&assumption=%7B%22F%22,+%22Derivative%22,+%22derivativevariable%22%7D+-%3E%22x%22&assumption=%7B%22C%22,+%22derivative%22%7D+-%3E+%7B%22Calculator%22%7D

Resolução
Utilizando como base esse esquema:
subs trig.png


Escolhendo trabalhar com o "+a" (pode fazer posteriormente com o "-a" pra ver que só mudará o sinal na raiz):
\\
\sqrt[]{x^2+a^2} = asec\theta\\
\\
x = atg\theta\\
\\
dx = asec^2xd\theta\\
\\
Substituindo\;na\;integral:\\
\\
\int_{}^{}\frac{asec^2xd\theta}{asec\theta}\\
\\
\int_{}^{}sec\theta d\theta\\
\\
Esta\;integral\;é\;tabelada\;e\;igual\;a:\\
\\
Ln|sec\theta+tg\theta|+K\\
\\
Voltando\;com\;os\;valores\;originais:\\
\\
Ln\left| sec\left(sec^-1\left(\frac{\sqrt[]{x^2+a^2}}{a} \right) \right)+tg\left(tg^-1\left( \frac{x}{a} \right) \right)\right|+K\\
\\
\\
Ln\left|\frac{1}{a}\left(\sqrt[]{x^2+a^2} + x \right) \right|+k

Como dito anteriormente, fazendo com "-a²" só vai mudar o sinal do "a²" dentro da raiz.
Espero ter ajudado, bons estudos.
Gebe
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Re: Como calcular a integral indefinida por substituição

Mensagempor Therodrigou » Ter Ago 28, 2018 00:23

vlw!
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Assunto: dúvida em uma questão em regra de 3!
Autor: leandro moraes - Qui Jul 01, 2010 12:41

pessoal eu achei como resultado 180 toneladas,entretanto sei que a questão está erra pela lógica e a resposta correta segundo o gabarito é 1.800 toneladas.
me explique onde eu estou pecando na questão. resolva explicando.

78 – ( CEFET – 1993 ) Os desabamentos, em sua maioria, são causados por grande acúmulo de lixo nas encostas dos morros. Se 10 pessoas retiram 135 toneladas de lixo em 9 dias, quantas toneladas serão retiradas por 40 pessoas em 30 dias ?


Assunto: dúvida em uma questão em regra de 3!
Autor: Douglasm - Qui Jul 01, 2010 13:16

Observe o raciocínio:

10 pessoas - 9 dias - 135 toneladas

1 pessoa - 9 dias - 13,5 toneladas

1 pessoa - 1 dia - 1,5 toneladas

40 pessoas - 1 dia - 60 toneladas

40 pessoas - 30 dias - 1800 toneladas


Assunto: dúvida em uma questão em regra de 3!
Autor: leandro moraes - Qui Jul 01, 2010 13:18

pessoal já achei a resposta. o meu erro foi bobo rsrsrrs errei em uma continha de multiplicação, é mole rsrsrsr mas felizmente consegui.


Assunto: dúvida em uma questão em regra de 3!
Autor: leandro moraes - Qui Jul 01, 2010 13:21

leandro moraes escreveu:pessoal já achei a resposta. o meu erro foi bobo rsrsrrs errei em uma continha de multiplicação, é mole rsrsrsr mas felizmente consegui.

valeu meu camarada.


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