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[Cálculo III - Equações Diferenciais] Variáveis Separáveis

[Cálculo III - Equações Diferenciais] Variáveis Separáveis

Mensagempor leticiaeverson » Dom Ago 19, 2018 16:39

Utilize a técnica das variáveis separáveis para calcular:


a) y' = xy/(1+x²)

b) y' = xy / 1+x²

c) x cos y dy = (x+1) sen y dx
leticiaeverson
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Re: [Cálculo III - Equações Diferenciais] Variáveis Separáve

Mensagempor DanielFerreira » Sex Set 13, 2019 16:00

leticiaeverson escreveu:Utilize a técnica das variáveis separáveis para calcular:

a) y' = xy/(1+x²)


\\ \displaystyle \mathsf{y' = \frac{xy}{(1 + x^2)}} \\\\\\ \mathsf{\frac{dy}{dx} = y \cdot \frac{x}{1 + x^2}} \\\\\\ \mathsf{\frac{dy}{y} = \frac{x}{1 + x^2} \, dx}

Por fim, basta integrar os dois lados da igualdade.

leticiaeverson escreveu:c) x cos y dy = (x+1) sen y dx


\\ \displaystyle \mathsf{x \cdot \cos y \, dy = (x + 1) \cdot \sin y \, dy} \\\\\\ \mathsf{\frac{\cos y}{\sin y} \, dy = \frac{x + 1}{x} \, dx} \\\\\\ \mathsf{\int \frac{\cos y}{\sin y} \, dy = \int \frac{x + 1}{x} \, dx} \\\\\\ \mathsf{(\cdots)}
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}