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Integral por partes

MensagemEnviado: Seg Mai 21, 2018 22:54
por liviatoniolo222
Não estou conseguindo sair dessa questão.

∫ t. sec-¹(t)dt

O exercício pede para que seja feito por integração por partes

Fiz a integração usando ∫udv= u.v -∫vdu

e cheguei a isso \int t. {sec}^{-1}.\left(t \right) dt={sec}^{-1}.\left(t \right).\frac{{t}^{2}}{2}-\int\frac{{t}^{2}}{2}.\frac{dt}{\sqrt{1-{t}^{2}}}

depois disso eu não soube mais o que fazer, meu professor disse que eu teria que achar a identidade trigonométrica e fazer com que t seja igual a sen (u) mas eu não entendi como e nem porquê eu devo fazer isso

Re: Integral por partes

MensagemEnviado: Ter Mai 22, 2018 10:26
por Gebe
Nao lembrava mais como fazia este tipo de questão. Dei uma olhada nos meus materiais antigos na parte de substituição trigonometrica (coloco uma parte em anexo) e acho que tua questão cai no caso do primeiro exemplo do anexo, ficando assim:

Sem título.png


\\
\sqrt{a^2-u^2}=\sqrt{1-t^2}\\
\\
a=1\\
u=t\\
\\
Sendo \;assim:\\
\sqrt{1-t^2}=1cos(\theta)\\
\\
t=1sen(\theta)\\
\\
dt=1cos(\theta)d\theta
\\
\\
Continuando \;a\; integral:
\\
{sec}^{-1}.\left(t \right).\frac{{t}^{2}}{2}-\int\frac{{t}^{2}}{2}.\frac{dt}{\sqrt{1-{t}^{2}}}\\
\\
\\
{sec}^{-1}.\left(t \right).\frac{{t}^{2}}{2}-\int\frac{{sen(\theta)}^{2}}{2}.\frac{cos(\theta)d\theta}{cos(\theta)}}}\\
\\
{sec}^{-1}.\left(t \right).\frac{{t}^{2}}{2}-\int\frac{{sen(\theta)}^{2}}{2}.d\theta}}}\\
\\
{sec}^{-1}.\left(t \right).\frac{{t}^{2}}{2}-\left[\frac{\theta}{4}-\frac{sen(2\theta)}{4} \right]\\
\\
Voltando\;a\;substituição:\\
\\
{sec}^{-1}.\left(t \right).\frac{{t}^{2}}{2}-\left[\frac{sen^{-1}(t)}{4} -\frac{t*\sqrt{1-t^2}}{2}\right]

Acho que é isso, mas da uma boa conferida, qualquer duvida manda msg. Espero ter ajudado, bons estudos

Re: Integral por partes

MensagemEnviado: Ter Mai 22, 2018 16:01
por liviatoniolo222
Fiz a mesma pergunta em um outro fórum e me disseram que eu confundi sec-¹ com sen-¹ pois a fórmula de sen-¹ é \frac{du}{dt} sen^{-1}= \frac{1}{\sqrt{u^{2}-1}}
e realmente de acordo com a tabela \frac{du}{dt} \sec ^{-1}= \frac{1}{|x|\sqrt{1-u^{2}}} seria a fórmula correta para sec-¹

Fiquei confusa

Re: Integral por partes

MensagemEnviado: Ter Mai 22, 2018 20:48
por liviatoniolo222
Conversando com um outro professor, ele sugeriu que usasse esse método.
Estaria correto?