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Interseção entre áreas (Integrais)

MensagemEnviado: Seg Abr 30, 2018 16:52
por thejotta
A área de A ? B, onde

A={ (x,y) ?R2:0 ? x ? ?/2, 0 ? y ? c o s x }

B={ (x, y) ?R2: 0 < x < ?/2, sin x ? y ? 1}

é igual a:

a)(?2 - 1) /2
b)?2 /2
c)?2 - 1
d)1
e)?2

Não estou conseguindo resolver essa questão, alguém pode me ajudar?

o que eu fiz: Calculei a área de
A = 1
B = ?/2 -1

Sei que o gabarito é letra C. mas não sei como chegar nesse resultado.

Re: Interseção entre áreas (Integrais)

MensagemEnviado: Ter Mai 01, 2018 00:03
por Gebe
Sempre que possivel faça o desenho!
area.png
area.png (6.36 KiB) Exibido 8411 vezes


A area destacada é a pedida, portanto precisamos primeiramente achar onde as duas senoides se tocam, ou seja, sen(x) = cos(x).
Neste intervalo a intersecção acontece em pi/4 (ou 45°).

Agora para calcular a area de intersecção podemos calcular a area abaixo do cosseno entre 0 e pi/4 e subtrair a area abaixo do seno entre 0 e pi/4:
\\
area=\int_{0}^{\frac{pi}{4}}cos(x)dx-\int_{0}^{\frac{pi}{4}}sen(x)dx\\
\\
\\
area=\left[sen\left(\frac{pi}{4} \right)-sen(0) \right]-\left[-cos\left(\frac{pi}{4} \right)-\left( -cos(0) \right) \right]\\
\\
\\
area=\frac{\sqrt{2}}{2}-0+\frac{\sqrt{2}}{2}-1\\
\\
\\
area=\sqrt{2}-1

Espero ter ajudado, bons estudos.

Re: Interseção entre áreas (Integrais)

MensagemEnviado: Ter Mai 01, 2018 10:05
por thejotta
Muito obrigado. Agora consegui entender, que Deus te abençoe. :)

Re: Interseção entre áreas (Integrais)

MensagemEnviado: Ter Mai 01, 2018 22:51
por Gebe
:y: