através do uso de 
. Gostaria de saber se a minha demonstração está certa e, se não estiver, quais os problemas.Demonstração:
(1)Onde:
, e
logo,
sendo assim,
![(p, f(p)) \in f \Leftrightarrow (p, f(p)) \in {f}_{1}, {f}_{2},..., {f}_{n} \Leftrightarrow \exists (\epsilon>0\rightarrow\delta>0)|\forall x\in {D}_{f} \rightarrow
\exists(I=]a,b[; p \in I)|x\in I\Rightarrow f(p)-\epsilon < f(x) < f(p) + \epsilon](/latexrender/pictures/b5428ff9676b522add714d5ecc83eb6b.png "(p, f(p)) \in f \Leftrightarrow (p, f(p)) \in {f}_{1}, {f}_{2},..., {f}_{n} \Leftrightarrow \exists (\epsilon>0\rightarrow\delta>0)|\forall x\in {D}_{f} \rightarrow
\exists(I=]a,b[; p \in I)|x\in I\Rightarrow f(p)-\epsilon < f(x) < f(p) + \epsilon")
com:
![\delta = min[b-p,p+a] \Rightarrow p - \delta < x < p + \delta](/latexrender/pictures/7dc158336d2e10d06988b41e31d6174b.png "\delta = min[b-p,p+a] \Rightarrow p - \delta < x < p + \delta")
e:
sendo
uma generalização das funções 
que formam a forma geral de um polinômio (1).Logo:
![x\in ]a,b[ \Rightarrow x \in ]b-p,p+a[ \Rightarrow p-\delta < x < p + \delta](/latexrender/pictures/e3fe7c48c3db42378d1b0502a8c94b3f.png "x\in ]a,b[ \Rightarrow x \in ]b-p,p+a[ \Rightarrow p-\delta < x < p + \delta")
e, para encontrar o intervalo aberto I que torna contínua a função
, toma-se
com 
, que resulta:![a{p}^{b}-\epsilon<a{x}^{b}<a{p}^{b}+\epsilon\Rightarrow
\sqrt{\frac{a{p}^{b}-\epsilon}{a}}<x<\sqrt[b]{\frac{a{p}^{b}+\epsilon}{a}}](/latexrender/pictures/306ec5b206368af951a3852ead881d80.png "a{p}^{b}-\epsilon<a{x}^{b}<a{p}^{b}+\epsilon\Rightarrow
\sqrt{\frac{a{p}^{b}-\epsilon}{a}}<x<\sqrt[b]{\frac{a{p}^{b}+\epsilon}{a}}")
,logo:
![I=]\sqrt[b]{\frac{a{p}^{b}-\epsilon}{a}},\sqrt[b]{\frac{a{p}^{b}+\epsilon}{a}}[](/latexrender/pictures/32897c97d27c61ea0118f186a1751d20.png "I=]\sqrt[b]{\frac{a{p}^{b}-\epsilon}{a}},\sqrt[b]{\frac{a{p}^{b}+\epsilon}{a}}[")
o que implica que:
![\exists(\epsilon>0\rightarrow\delta>0)|\forall x\in {D}_{f}\rightarrow\exists(I=]a,b[,p\in I)|x\in I\Rightarrow
f(p)-\epsilon<f(x)<f(p)+\epsilon](/latexrender/pictures/edb731ac9fddebb10e6e8227934da1cf.png "\exists(\epsilon>0\rightarrow\delta>0)|\forall x\in {D}_{f}\rightarrow\exists(I=]a,b[,p\in I)|x\in I\Rightarrow
f(p)-\epsilon<f(x)<f(p)+\epsilon")
com:
,comprovando que todo polinômio é contínuo
.Baseie-me aqui nos métodos mostrados no próprio livro, o qual envolve um intervalo aberto no domínio da função, ainda que não tenha encontrado referências a este em outras fontes, como em "Calculus" de Spivak.
Espero receber críticas à minha demonstração em breve, de forma que possa aprimorar o meu conhecimento sobre continuidade. Agradeço desde já.
, avisa que eu resolvo.
