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[Continuidade] Todos os polinômios são contínuos em p?

[Continuidade] Todos os polinômios são contínuos em p?

Mensagempor DarioCViveiros » Qua Fev 21, 2018 17:28

Após uma leitura do livro "Um curso de cálculo - volume 1" de Guidorizzi, decidi verificar se todos os polinômios são contínuos para todo x\in Df através do uso de \epsilon-\delta. Gostaria de saber se a minha demonstração está certa e, se não estiver, quais os problemas.

Demonstração:
f(x)={a}_{0}{X}^{n}+{a}_{1}{X}^{n-1}+ ... + {a}_{n-1}X+{a}_{n} (1)

Onde:
\left({a}_{0},{a}_{1}, ... , {a}_{n-1}, {a}_{n} \right) \in \Re, e
n \in \aleph

logo,
f(x)={f}_{1}(x)+{f}_{2}(x)+ ... +{f}_{n}

sendo assim,
(p, f(p)) \in f \Leftrightarrow (p, f(p)) \in {f}_{1}, {f}_{2},..., {f}_{n} \Leftrightarrow \exists (\epsilon>0\rightarrow\delta>0)|\forall x\in {D}_{f} \rightarrow
\exists(I=]a,b[; p \in I)|x\in I\Rightarrow f(p)-\epsilon < f(x) < f(p) + \epsilon

com: \delta = min[b-p,p+a] \Rightarrow p - \delta < x < p + \delta
e: g(x)=a{x}^{b}, a \in \Re, b \in \aleph

sendo g(x) uma generalização das funções {f}_{n}(x) que formam a forma geral de um polinômio (1).

Logo:
x\in ]a,b[ \Rightarrow x \in ]b-p,p+a[ \Rightarrow p-\delta < x < p + \delta

e, para encontrar o intervalo aberto I que torna contínua a função g(x), toma-se

f(p)-\epsilon < f(x) < f(p) + \epsilon com f(p)=a{x}^{b}, que resulta:

a{p}^{b}-\epsilon<a{x}^{b}<a{p}^{b}+\epsilon\Rightarrow
\sqrt{\frac{a{p}^{b}-\epsilon}{a}}<x<\sqrt[b]{\frac{a{p}^{b}+\epsilon}{a}},

logo:
I=]\sqrt[b]{\frac{a{p}^{b}-\epsilon}{a}},\sqrt[b]{\frac{a{p}^{b}+\epsilon}{a}}[

o que implica que:

\exists(\epsilon>0\rightarrow\delta>0)|\forall x\in {D}_{f}\rightarrow\exists(I=]a,b[,p\in I)|x\in I\Rightarrow
f(p)-\epsilon<f(x)<f(p)+\epsilon

com: f(x)={a}_{0}{X}^{n}+{a}_{1}{X}^{n-1}+ ... + {a}_{n-1}X+{a}_{n},

comprovando que todo polinômio é contínuo \forall p \in {D}_{f}.


Baseie-me aqui nos métodos mostrados no próprio livro, o qual envolve um intervalo aberto no domínio da função, ainda que não tenha encontrado referências a este em outras fontes, como em "Calculus" de Spivak.
Espero receber críticas à minha demonstração em breve, de forma que possa aprimorar o meu conhecimento sobre continuidade. Agradeço desde já. :y:
DarioCViveiros
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Assunto: cálculo de limites
Autor: Hansegon - Seg Ago 25, 2008 11:29

Bom dia.

Preciso de ajuda na solução deste problema, pois só chego ao resultado de 0 sobre 0.
Obrigado

\lim_{x\rightarrow-1} x³ +1/x²-1[/tex]


Assunto: cálculo de limites
Autor: Molina - Seg Ago 25, 2008 13:25

\lim_{x\rightarrow-1} \frac{{x}^{3}+1}{{x}^{2}-1}

Realmente se você jogar o -1 na equação dá 0 sobre 0.
Indeterminações deste tipo você pode resolver por L'Hôpital
que utiliza derivada.
Outro modo é transformar o numerador e/ou denominador
para que não continue dando indeterminado.

Dica: dividir o numerador e o denominador por algum valor é uma forma que normalmente dá certo. :y:

Caso ainda não tenha dado uma :idea:, avisa que eu resolvo.

Bom estudo!


Assunto: cálculo de limites
Autor: Guill - Dom Abr 08, 2012 16:03

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{x^3+1}{x^2-1}

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{(x+1)(x^2-x+1)}{(x+1)(x-1)}

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{(x^2-x+1)}{(x-1)}=\frac{-3}{2}