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[Derivada]regra da cadeia

[Derivada]regra da cadeia

Mensagempor principiante » Dom Fev 04, 2018 10:28

Pessoal, bom dia.

Estou com uma dúvida para interpretar uma função a ser derivada pela regra da cadeia.

Derive: y=(lnx+1)^3

No meu entendimento, levando em consideração a forma que a função foi enunciada, caberia duas interpretações para a função, e, consequentemente, duas respostas diferentes:

(i) y=[ln(x+1)]^3

e/ou

(ii) y=[ln(x)+1]^3

Por favor, qual delas seria a correta?

Obrigado.
principiante
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Re: [Derivada]regra da cadeia

Mensagempor Baltuilhe » Dom Fev 04, 2018 21:02

Boa tarde!

Da forma com está escrita:
y = \left( \ln x + 1 \right) ^ 3

Não há dúvidas que NÃO pode ser a forma:
y = \left( \ln \left( x + 1 \right) \right) ^ 3

Pois não havia parênteses, ok?

Aproveitando o ensejo, a derivada pela regra da cadeia pode ser calculada:
\\y = \left( u \right) ^ 3\\\\
u = \ln x + 1\\\\
\dfrac{ dy }{ dx } = \dfrac{ dy }{ du } \cdot \dfrac{ du }{ dx }\\\\
\dfrac{ dy }{ dx } = 3u^2 \cdot \dfrac{ 1 }{ x }\\\\
\dfrac{ dy }{ dx } = 3 \cdot \left( \ln x + 1 \right) ^ 2 \cdot \dfrac{ 1 }{ x }\\\\
\boxed{ \dfrac{ dy }{ dx } = \dfrac{ 3 \cdot \left( \ln x + 1 \right) ^ 2 }{ x } }

Espero ter ajudado!
Baltuilhe
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}