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[Integral de Substituição]

[Integral de Substituição]

Mensagempor caioquinterno » Seg Nov 06, 2017 18:32

O exercício é o seguinte:
Calcule a integral abaixo;
f(x)= \int x \sqrt x-1 dx
Eu estou com dificuldades nela, tentei resolver porém difere do gabarito da minha lista.
Minha resolução
duvidasintegral.jpg
minha resolução

Porém estou com dificuldades enquanto a substituição do " du " e se fica mesmo \frac{du}{x} = x dx , não tenho certeza se minha substituição está correta ou se foi no meu desenvolvimento, gostaria que se alguém pudesse me ajudar.

Obrigado, desde já! :)
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Re: [Integral de Substituição]

Mensagempor nakagumahissao » Sex Fev 23, 2018 21:51

\int_{}^{} x\sqrt[2]{x -1}dx

Fazendo a substituição como você...

u = x - 1 \Rightarrow du = dx

teremos:

\int_{}^{} x\sqrt[2]{x -1}dx = \int_{}^{} (u + 1) \sqrt[2]{u}du

Segue-se da seguinte maneira:

\int (u + 1) \sqrt{u}du = \int (u + 1) \left({u}^{\frac{1}{2}} \right) du = \int {u}^{\frac{3}{2}} + {u}^{\frac{1}{2}} du =

\int {u}^{\frac{3}{2}}du  + \int {u}^{\frac{1}{2}} du = \frac{{u}^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}} + {c}_{1} + \frac{{u}^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + {c}_{2}

= \frac{2}{5}{u}^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3}{u}^{\frac{3}{2}} + {c}_{1} + {c}_{2} = 2{u}^{\frac{3}{2}}\left(\frac{1}{5}u + \frac{1}{3} \right) + c

com

c = {c}_{1} + {c}_{2}

Finalmente:

2{u}^{\frac{3}{2}}\left(\frac{1}{5}u + \frac{1}{3} \right) + c = 2\sqrt{{u}^{3}}\left(\frac{1}{5}u + \frac{1}{3} \right) + c =

= 2\sqrt{{(x-1)}^{3}}\left[\frac{1}{5}(x-1) + \frac{1}{3} \right] + c

\blacksquare
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Re: [Integral de Substituição]

Mensagempor jlgraceli » Sáb Fev 24, 2018 09:31

colegas,

Para resolver esta integral, seguir os passos abaixo.

1) multiplicar x por raiz de x, que é igual x elevado a 3/2;
2) separar em duas integrais;
3)achar a integral de x elevado a 3/2 e a integral de dx.
fim.
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Re: [Integral de Substituição]

Mensagempor jlgraceli » Sáb Fev 24, 2018 09:33

Contudo, se o -1 está dentro da raiz, deve ser feita a substituição.
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}