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[Derivada]

MensagemEnviado: Qui Nov 02, 2017 16:21
por violettav
Seja g uma funcao derivavel e f(x) = (cos x) * g²(tg (x / (x² + 2)). Sabendo que g(0) = 1/2 e g'(0) = 1, calcule f ' (0).

resposta : 1/2

Re: [Derivada]

MensagemEnviado: Qui Jan 11, 2018 14:00
por jbandrade1618
Olá Violetta.

Essa questão pede um pouco de paciência e organização para aplicar a regra da cadeia. Como o x da função será sempre substituído por zero, será fácil no final substituir os valores.

Resolução:
f'(x)=df(x)=dcos(x)*{g}^{2}\left( tg\left(\frac{x}{{x}^{2}+2} \right)\right)+cos(x)*2g\left( tg\left(\frac{x}{{x}^{2}+2} \right)\right)*dtg\left(\frac{x}{{x}^{2}+2} \right)*d\left(\frac{x}{{x}^{2}+2} \right)
\Rightarrow f'(x)=-sen(x)*{g}^{2}\left( tg\left(\frac{x}{{x}^{2}+2} \right)\right)+cos(x)*2g\left( tg\left(\frac{x}{{x}^{2}+2} \right)\right)*{sec}^{2}\left(\frac{x}{{x}^{2}+2} \right)*\left(\frac{-{x}^{2}+2}{{({x}^{2}+2})^{2}}\right)

Agora basta substituir x por zero:
f'(0)=-sen(0)*{g}^{2}\left( tg\left(\frac{0}{{0}^{2}+2} \right)\right)+cos(0)*2g\left( tg\left(\frac{0}{{0}^{2}+2} \right)\right)*{sec}^{2}\left(\frac{0}{{0}^{2}+2} \right)*\left(\frac{-{0}^{2}+2}{{({0}^{2}+2})^{2}}\right)
\Rightarrow f'(0)=0*{g}^{2}(0)+1*2g(0)*{sec}^{2}(0)*\left(\frac{2}{4}\right)=1*2*\frac{1}{2}*{1}^{2}*\frac{1}{2}=\frac{1}{2}
\Rightarrow f'(0)=\frac{1}{2}

Espero ter ajudado. :y: