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Reta tangente

Reta tangente

Mensagempor Joao buck » Sáb Out 07, 2017 17:40

Nao estou conseguindo entender como resolver esse exercicio, ajuda pf:
Encontre as equaçoes das retas tangendes a elipse x² + 4y²=36 que passam pelo ponto (12,3)
Joao buck
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Re: Reta tangente

Mensagempor nakagumahissao » Seg Fev 26, 2018 20:04

Esta é uma questão um tanto difícil de ser resolvida.

Vamos partir do fato que, derivando implicitamente a equação, teremos como declividade:

{x}^{2} + 4{y}^{2}=36 \Rightarrow 2xdx + 8ydy = 0 \Rightarrow \frac{dx}{dy} = -\frac{x}{4y}

Agora, vamos isolar 4{y}^{2}
4{y}^{2} = 36 - {x}^{2} \: \: \:  [1]

A Equação da reta em qualquer ponto da elipse deverá ser:

y - {y}_{0} = \frac{dy}{dx}\left(x - {x}_{0} \right)

Sabemos um ponto desta reta (12, 3). Utilizando este ponto na equação acima, teremos:

{y}_{0} = 3, \: \: {x}_{0} = 12, \: \: y - 3 = -\frac{x}{4y}\left(x - 12 \right)

Resolvendo:

4{y}^{2} - 12y = -{x}^{2} + 12x

Usando o fato [1] acima nesta última equação, tem-se que:

(36 - {x}^{2}) - 12y = -{x}^{2} + 12x

12y = - 12x + 36

y = - x + 3

Substituindo-se este resultado para y em nossa equação original do problema, obtem-se:

{x}^{2} + 4{(- x + 3)}^{2} = 36

{x}^{2} + 4\left({x}^{2} - 6x + 9 \right) = 36

{x}^{2} + 4{x}^{2} - 24x + 36=  36

5{x}^{2} - 24x = 0

{x}^{2} - \frac{24}{5}x = 0 \Rightarrow x\left(x - \frac{24}{5} \right) = 0

Dessa maneira,

x = 0 \:\: ou \:\: x = \frac{24}{5}

O que é esperado.

Logo, y, tomando-se x = 0, deverá ser y = 3. Ponto (0, 3). E para x = 24/5, e como:

y = - x + 3

então, y deverá ser:

y = -x + 3 = -\frac{24}{5} + 3 = -\frac{9}{5}


Assim, agora podemos obter finalmente o que nos foi solicitado, ou seja, as equações das retas tangentes que passam pelo ponto (12, 3).

Para a primeira reta que passa pela elipse tocando em (0, 3) teremos:

\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{4y} = -\frac{0}{3} = 0

y - {y}_{0} = \frac{dy}{dx}\left(x - {x}_{0} \right)

y - 3 =0 \cdot \left(x - 0 \right)

y = 3

que é a equação da primeira reta que passa no ponto (0,3) e também pelo ponto (12,3).

Utilizando (24/5, -9/5), a declividade serã de:

\frac{dy}{dx} = - \frac{x}{4y} = - \frac{\frac{24}{5}}{-4 \cdot \frac{9}{5}} = \frac{2}{3}

e a reta que passa por este ponto (24/5, -9/5) e também pelo ponto (12, 3) deverá ser:

y + \frac{9}{5} = \frac{2}{3}(x - \frac{24}{5}) \Rightarrow y = \frac{2}{3}x -5


Assim, a segunta equação de reta será


y = \frac{2}{3}x -5


O método que utilizei é um tanto longa e trabalhosa. Pode ser que existam meios mais rápidos e eficientes de se resolver este problema, porém isto é o que me veio em mente. Espero ter ajudado.

Se desejar ver o grafico e essas tangentes, acesse http://simples.zapto.org/?p=675
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Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 10:38

Olá ! Tenho essa dúvida e não consigo montar o problema para resolução:

Qual é o racional não nulo cujo o quadrado é igual à sua terça parte ?

Grata.


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: MarceloFantini - Sex Fev 18, 2011 12:27

x^2 = \frac{x}{3}


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 12:55

também pensei que fosse assim, mas a resposta é \frac{1}{3}.

Obrigada Fantini.


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: MarceloFantini - Sex Fev 18, 2011 13:01

x^2 = \frac{x}{3} \Rightarrow x^2 - \frac{x}{3} = 0 \Rightarrow x \left(x - \frac{1}{3} \right) = 0

Como x \neq 0:

x - \frac{1}{3} = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3}

O que você fez?


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 16:17

eu só consegui fazer a igualdade, não consegui desenvolver o restante, não pensei em fatoração, mas agora entendi o que vc fez.

Obrigada.