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Reta tangente

Reta tangente

Mensagempor Joao buck » Sáb Out 07, 2017 17:40

Nao estou conseguindo entender como resolver esse exercicio, ajuda pf:
Encontre as equaçoes das retas tangendes a elipse x² + 4y²=36 que passam pelo ponto (12,3)
Joao buck
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Re: Reta tangente

Mensagempor nakagumahissao » Seg Fev 26, 2018 20:04

Esta é uma questão um tanto difícil de ser resolvida.

Vamos partir do fato que, derivando implicitamente a equação, teremos como declividade:

{x}^{2} + 4{y}^{2}=36 \Rightarrow 2xdx + 8ydy = 0 \Rightarrow \frac{dx}{dy} = -\frac{x}{4y}

Agora, vamos isolar 4{y}^{2}
4{y}^{2} = 36 - {x}^{2} \: \: \:  [1]

A Equação da reta em qualquer ponto da elipse deverá ser:

y - {y}_{0} = \frac{dy}{dx}\left(x - {x}_{0} \right)

Sabemos um ponto desta reta (12, 3). Utilizando este ponto na equação acima, teremos:

{y}_{0} = 3, \: \: {x}_{0} = 12, \: \: y - 3 = -\frac{x}{4y}\left(x - 12 \right)

Resolvendo:

4{y}^{2} - 12y = -{x}^{2} + 12x

Usando o fato [1] acima nesta última equação, tem-se que:

(36 - {x}^{2}) - 12y = -{x}^{2} + 12x

12y = - 12x + 36

y = - x + 3

Substituindo-se este resultado para y em nossa equação original do problema, obtem-se:

{x}^{2} + 4{(- x + 3)}^{2} = 36

{x}^{2} + 4\left({x}^{2} - 6x + 9 \right) = 36

{x}^{2} + 4{x}^{2} - 24x + 36=  36

5{x}^{2} - 24x = 0

{x}^{2} - \frac{24}{5}x = 0 \Rightarrow x\left(x - \frac{24}{5} \right) = 0

Dessa maneira,

x = 0 \:\: ou \:\: x = \frac{24}{5}

O que é esperado.

Logo, y, tomando-se x = 0, deverá ser y = 3. Ponto (0, 3). E para x = 24/5, e como:

y = - x + 3

então, y deverá ser:

y = -x + 3 = -\frac{24}{5} + 3 = -\frac{9}{5}


Assim, agora podemos obter finalmente o que nos foi solicitado, ou seja, as equações das retas tangentes que passam pelo ponto (12, 3).

Para a primeira reta que passa pela elipse tocando em (0, 3) teremos:

\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{4y} = -\frac{0}{3} = 0

y - {y}_{0} = \frac{dy}{dx}\left(x - {x}_{0} \right)

y - 3 =0 \cdot \left(x - 0 \right)

y = 3

que é a equação da primeira reta que passa no ponto (0,3) e também pelo ponto (12,3).

Utilizando (24/5, -9/5), a declividade serã de:

\frac{dy}{dx} = - \frac{x}{4y} = - \frac{\frac{24}{5}}{-4 \cdot \frac{9}{5}} = \frac{2}{3}

e a reta que passa por este ponto (24/5, -9/5) e também pelo ponto (12, 3) deverá ser:

y + \frac{9}{5} = \frac{2}{3}(x - \frac{24}{5}) \Rightarrow y = \frac{2}{3}x -5


Assim, a segunta equação de reta será


y = \frac{2}{3}x -5


O método que utilizei é um tanto longa e trabalhosa. Pode ser que existam meios mais rápidos e eficientes de se resolver este problema, porém isto é o que me veio em mente. Espero ter ajudado.

Se desejar ver o grafico e essas tangentes, acesse http://simples.zapto.org/?p=675
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Assunto: [Função] do primeiro grau e quadratica
Autor: Thassya - Sáb Out 01, 2011 16:20

1) Para que os pontos (1,3) e (-3,1) pertençam ao grafico da função f(X)=ax + b ,o valor de b-a deve ser ?

2)Qual o maior valor assumido pela função f : [-7 ,10] em R definida por f(x) = x ao quadrado - 5x + 9?

3) A função f, do primeiro grau, é definida pos f(x)= 3x + k para que o gráfico de f corte o eixo das ordenadas no ponto de ordenada 5 é?


Assunto: [Função] do primeiro grau e quadratica
Autor: Neperiano - Sáb Out 01, 2011 19:46

Ola

Qual as suas dúvidas?

O que você não está conseguindo fazer?

Nos mostre para podermos ajudar

Atenciosamente


Assunto: [Função] do primeiro grau e quadratica
Autor: joaofonseca - Sáb Out 01, 2011 20:15

1)Dados dois pontos A=(1,3) e B=(-3,1) de uma reta, é possivel definir a sua equação.

y_{b}-y_{a}=m(x_{b}-x_{a})

1-3=m(-3-1) \Leftrightarrow -2=-4m \Leftrightarrow m=\frac{2}{4} \Leftrightarrow m=\frac{1}{2}

Em y=mx+b substitui-se m, substitui-se y e x por um dos pares ordenados, e resolve-se em ordem a b.

3=\frac{1}{2} \cdot 1+b\Leftrightarrow 3-\frac{1}{2}=b \Leftrightarrow b=\frac{5}{2}



2)Na equação y=x^2-5x+9 não existem zeros.Senão vejamos

Completando o quadrado,

(x^2-5x+\frac{25}{4})+9-\frac{25}{4} =0\Leftrightarrow (x-\frac{5}{2})^2+\frac{11}{4}=0

As coordenadas do vertice da parabola são (\frac{5}{2},\frac{11}{4})

O eixo de simetria é a reta x=\frac{5}{2}.Como se pode observar o vertice está acima do eixo Ox, estando parabola virada para cima, o vertice é um mínimo absoluto.Então basta calcular a função para os valores dos extremos do intervalo.

f(-7)=93
f(10)=59