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Reta tangente

Reta tangente

Mensagempor Joao buck » Sáb Out 07, 2017 17:40

Nao estou conseguindo entender como resolver esse exercicio, ajuda pf:
Encontre as equaçoes das retas tangendes a elipse x² + 4y²=36 que passam pelo ponto (12,3)
Joao buck
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Re: Reta tangente

Mensagempor nakagumahissao » Seg Fev 26, 2018 20:04

Esta é uma questão um tanto difícil de ser resolvida.

Vamos partir do fato que, derivando implicitamente a equação, teremos como declividade:

{x}^{2} + 4{y}^{2}=36 \Rightarrow 2xdx + 8ydy = 0 \Rightarrow \frac{dx}{dy} = -\frac{x}{4y}

Agora, vamos isolar 4{y}^{2}
4{y}^{2} = 36 - {x}^{2} \: \: \:  [1]

A Equação da reta em qualquer ponto da elipse deverá ser:

y - {y}_{0} = \frac{dy}{dx}\left(x - {x}_{0} \right)

Sabemos um ponto desta reta (12, 3). Utilizando este ponto na equação acima, teremos:

{y}_{0} = 3, \: \: {x}_{0} = 12, \: \: y - 3 = -\frac{x}{4y}\left(x - 12 \right)

Resolvendo:

4{y}^{2} - 12y = -{x}^{2} + 12x

Usando o fato [1] acima nesta última equação, tem-se que:

(36 - {x}^{2}) - 12y = -{x}^{2} + 12x

12y = - 12x + 36

y = - x + 3

Substituindo-se este resultado para y em nossa equação original do problema, obtem-se:

{x}^{2} + 4{(- x + 3)}^{2} = 36

{x}^{2} + 4\left({x}^{2} - 6x + 9 \right) = 36

{x}^{2} + 4{x}^{2} - 24x + 36=  36

5{x}^{2} - 24x = 0

{x}^{2} - \frac{24}{5}x = 0 \Rightarrow x\left(x - \frac{24}{5} \right) = 0

Dessa maneira,

x = 0 \:\: ou \:\: x = \frac{24}{5}

O que é esperado.

Logo, y, tomando-se x = 0, deverá ser y = 3. Ponto (0, 3). E para x = 24/5, e como:

y = - x + 3

então, y deverá ser:

y = -x + 3 = -\frac{24}{5} + 3 = -\frac{9}{5}


Assim, agora podemos obter finalmente o que nos foi solicitado, ou seja, as equações das retas tangentes que passam pelo ponto (12, 3).

Para a primeira reta que passa pela elipse tocando em (0, 3) teremos:

\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{4y} = -\frac{0}{3} = 0

y - {y}_{0} = \frac{dy}{dx}\left(x - {x}_{0} \right)

y - 3 =0 \cdot \left(x - 0 \right)

y = 3

que é a equação da primeira reta que passa no ponto (0,3) e também pelo ponto (12,3).

Utilizando (24/5, -9/5), a declividade serã de:

\frac{dy}{dx} = - \frac{x}{4y} = - \frac{\frac{24}{5}}{-4 \cdot \frac{9}{5}} = \frac{2}{3}

e a reta que passa por este ponto (24/5, -9/5) e também pelo ponto (12, 3) deverá ser:

y + \frac{9}{5} = \frac{2}{3}(x - \frac{24}{5}) \Rightarrow y = \frac{2}{3}x -5


Assim, a segunta equação de reta será


y = \frac{2}{3}x -5


O método que utilizei é um tanto longa e trabalhosa. Pode ser que existam meios mais rápidos e eficientes de se resolver este problema, porém isto é o que me veio em mente. Espero ter ajudado.

Se desejar ver o grafico e essas tangentes, acesse http://simples.zapto.org/?p=675
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Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Dom Jan 17, 2010 14:42

Não sei onde este tópico se encaixaria. Então me desculpem.
Eu não entendi essa passagem, alguém pode me explicar?
2n \geq n+1 ,\forall n \in\aleph*
O livro explica da seguinte forma.
1°) P(1) é verdadeira, pois 2.1 \geq 1+1
2°) Admitamos que P(k), k \in \aleph*, seja verdadeira:
2k \geq k+1 (hipótese da indução)
e provemos que 2(k+1) \geq (K+1)+1
Temos: (Nessa parte)
2(k+1) = 2k+2 \geq (k+1)+2 > (k+1)+1


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Seg Jan 18, 2010 01:55

Boa noite Fontelles.

Não sei se você está familiarizado com o Princípio da Indução Finita, portanto vou tentar explicar aqui.

Ele dá uma equação, no caso:

2n \geq n+1, \forall n \in \aleph^{*}

E pergunta: ela vale para todo n? Como proceder: no primeiro passo, vemos se existe pelo menos um caso na qual ela é verdadeira:

2*1 \geq 1+1

Portanto, existe pelo menos um caso para o qual ela é verdadeira. Agora, supomos que k seja verdadeiro, e pretendemos provar que também é verdadeiro para k+1.

\mbox{Suponhamos que P(k), }k \in \aleph^{*},\mbox{ seja verdadeiro:}
2k \geq k+1

\mbox{Vamos provar que:}
2(k+1) \geq (k+1)+1

Daí pra frente, ele usou o primeiro membro para chegar em uma conclusão que validava a tese. Lembre-se: nunca saia da tese.

Espero ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Seg Jan 18, 2010 02:28

Mas, Fantini, ainda fiquei em dúvida na passagem que o autor fez (deixei uma msg entre o parêntese).
Obrigado pela ajuda, mesmo assim.
Abraço!


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Qui Jan 21, 2010 11:32

Galera, ajuda aí!
Por falar nisso, alguém conhece algum bom material sobre o assunto. O livro do Iezzi, Matemática Elementar vol. 1 não está tão bom.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Jan 21, 2010 12:25

Boa tarde Fontelles!

Ainda não estou certo de qual é a sua dúvida, mas tentarei novamente.

O que temos que provar é isso: 2(k+1) \geq (k+1)+1, certo? O autor começou do primeiro membro:

2(k+1)= 2k+2

Isso é verdadeiro, certo? Ele apenas aplicou a distributiva. Depois, partiu para uma desigualdade:

2k+2 \geq (k+1)+2

Que é outra verdade. Agora, com certeza:

(k+1)+2 > (k+1)+1

Agora, como 2(k+1) é \geq a (k+1)+2, e este por sua vez é sempre > que (k+1)+1, logo:

2(k+1) \geq (k+1)+1 \quad \mbox{(c.q.d)}

Inclusive, nunca é igual, sempre maior.

Espero (dessa vez) ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Caeros - Dom Out 31, 2010 10:39

Por curiosidade estava estudando indução finita e ao analisar a questão realmente utilizar a desigualdade apresentada foi uma grande sacada para este problema, só queria tirar uma dúvida sobre a sigla (c.q.d), o que significa mesmo?


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: andrefahl - Dom Out 31, 2010 11:37

c.q.d. = como queriamos demonstrar =)


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Abelardo - Qui Mai 05, 2011 17:33

Fontelles, um bom livro para quem ainda está ''pegando'' o assunto é:'' Manual de Indução Matemática - Luís Lopes''. É baratinho e encontras na net com facilidade. Procura também no site da OBM, vais encontrar com facilidade material sobre PIF... em alguns sites que preparam alunos para colégios militares em geral também tem excelentes materiais.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Mai 05, 2011 20:05

Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Vennom - Qui Abr 26, 2012 23:04

MarceloFantini escreveu:Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.

Rpz, faz um ano que o fulano não visita o site, mas ler esse comentário dele enquanto respondia a outro tópico me ajudou. hAUEhUAEhUAEH obrigado, Marcelo. Sua explicação de indução finita me sanou uma dúvida sobre outra coisa. :-D


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