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Análise real

Análise real

Mensagempor matmatco » Qui Jun 29, 2017 08:28

O exercício é:
Prove que se f,g:\left[a,b \right]\rightarrow R são integráveis então são também integráveis as funções \varphi,\psi:\left[a,b \right]\rightarrow R, definidas por \varphi\left(x \right)=max\left(f\left(x \right),g\left(x \right) \right) e \psi\left(x \right)=min\left(f\left(x \right),g\left(x \right) \right). Conclua daí que são integráveis as funções {f}_{+},{f}_{-}:\left[a,b \right]\rightarrow R dadas por {f}_{+}=0 se f\left(x \right)\leq 0, {f}_{+}\left(x \right)=f\left(x \right) se f\left(x \right)> 0; {f}_{-}\left(x \right)=0 se f\left(x \right)\geq 0 e{f}_{-} = - f\left(x \right) se f\left(x \right) < 0 (supondo f integrável).

minha dúvida é como escrever que a oscilação da {f}_{+}\left(x \right) é \leq que a oscilação de f\left(x \right).
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Re: Análise real

Mensagempor adauto martins » Ter Jul 11, 2017 15:12

w(f)-w({f}_{+}=sup(f)-inf(f)-(sup({f}_{+})-inf(f}_{+})=sup(f)-sup({f}_{+}+inf({f}_{+)})-inf(f)...inf({f}_{+}=inf(f),pq?...,logo:
w(f)-w({f}_{+})=sup(f)-sup({f}_{+}\prec \left|sup(f)-sup({f}_{+}) \right|\prec \epsilon,como
\épsilon \succ 0\Rightarrow w(f)\succ w({f}_{+})...
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Re: Análise real

Mensagempor matmatco » Qua Jul 12, 2017 17:08

Olá Adauto, tudo bem?

Não entendi o que vc quis dizer ficou muito confuso, mas consegui resolver a questão. Segue a solução caso queira saber.

Sabemos que f{(x)}_{+}=max(f\left(x \right),0) e f{(x)}_{-}=max(-f\left(x \right),0) então \left|f \right|= {f}_{+}(x) + {f}_{-}(x) , logo {f}_{+}(x)\leq\left|f \right| e  {f}_{-}(x)\leq\left|f \right| {f}_{+}(x)\leq\left|f \right| e {f}_{-}(x)\leq\left|f \right|, integrando nós temos \int_{}^{}{f}_{+}(x)\leq\int_{}^{}\left|f \right| sendo f integrável implica {f}_{+}(x) também é integrável.( análogo para {f}_{-}(x).
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Re: Análise real

Mensagempor adauto martins » Qui Jul 13, 2017 13:06

a sua duvida era qdo as oscilaçao de f(x),w(f(x),[a,b])...{f}_{+},w({f}_{+},[a,b)},pela definiçao dada pelo problema,conclui o q. fiz...no ponto x=0,inf(f,...)=inf({f}_{+})...
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Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: Alucard014 - Dom Ago 01, 2010 18:22

(UNESP - 95) Seja L o Afixo de um Número complexo a=\sqrt{8}+ i em um sistema de coordenadas cartesianas xOy. Determine o número complexo b , de módulo igual a 1 , cujo afixo M pertence ao quarto quadrante e é tal que o ângulo LÔM é reto.


Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: MarceloFantini - Qui Ago 05, 2010 17:27

Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.