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Continuidade em um ponto

Continuidade em um ponto

Mensagempor elisafrombrazil » Qua Jan 18, 2017 08:13

Mostre, pela definição formal de limites, que para f(x) = x², f(x) é contínua em x = 1,

\lim_{x \to 1} x^2 = 1
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Re: Continuidade em um ponto

Mensagempor adauto martins » Qua Jan 18, 2017 11:50

dado um \epsilon \succ 0,existem infinitos \delta \succ 0(mostre isso) tal que:
para 0\prec \left|x-1 \right|\prec \delta0\prec \left|x-1 \right|\prec \delta,teremos sempre:
\left|{x}^{2}-1 \right|\prec \epsilon... de fato,
tomemos \left|{x}^{2}-1 \right|=\left|(x+1).(x-1) \right|\preceq \left|x+1 \right|.\left|x-1 \right|\prec \left|x+1 \right|.\delta...,temos por hipotese q. 0\prec\left|x-1 \right|\prec \delta\Rightarrow \left|x-1 \right|\preceq \left|x+1 \right| \preceq \left|x \right|+1 = \delta \Rightarrow \left|x \right|\prec \delta -1,\left|x \right|=\delta -1...,como devemos buscar sempre o valor minimo de \delta,podemos ter:
\left|{x}^{2}-1 \right|=\left|x+1 \right|.\delta\preceq (\left|x \right|+1).\delta[tex]=(\delta -1 +1).\delta={\delta}^{2}[/tex],tomaremos \epsilon={\delta}^{2}portanto:
\left|{x}^{2}-1 \right|\preceq \left|x+1 \right|.\left|x-1 \right|\prec {\delta}^{2}=\epsilon...
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Re: Continuidade em um ponto

Mensagempor elisafrombrazil » Sex Jan 20, 2017 10:12

Como chegar em \delta = min(1,\frac{1}{3}\epsilon) ?
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Re: Continuidade em um ponto

Mensagempor adauto martins » Sex Jan 20, 2017 16:41

se vc estudar o q. te indiquei vc vera q. 0\prec (\epsilon,\delta)\prec 1,sao intervalos q. contem o ponto em questao,ou seja o limite da funçao prox. ao ponto,qto menor for esse intervalo,no caso \delta,mais precisa sera a MEDIDA...entao:
\left|x \right|-1 \preceq \left|x-1 \right|\prec \delta\Rightarrow 
\left|x \right|\prec \delta+1...
\left|{x}^{2}-1 \right|=\left|x+1 \right|.\left|x-1 \right|\prec (\left|x \right|+1+1)\delta,agora podemos tomar valores prox. a x=1,e encontrar um \delta,q. satisfaça nossa MEDIDA(nao esqueça MEDIDA)...logo,(1+1+1)\delta=\epsilon \Rightarrow \delta=\epsilon/3...,como havia dito 0\prec (\epsilon,\delta)\prec 1,podemos tomar a menorMEDIDA, q. se encontra no intervalo
(\epsilon/3,1),uma MEDIDA melhor e mais precisa seria o intervalo ((\epsilon/n)n\rightarrow\infty,1)...
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}