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Continuidade em um ponto

Continuidade em um ponto

Mensagempor elisafrombrazil » Qua Jan 18, 2017 08:13

Mostre, pela definição formal de limites, que para f(x) = x², f(x) é contínua em x = 1,

\lim_{x \to 1} x^2 = 1
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Re: Continuidade em um ponto

Mensagempor adauto martins » Qua Jan 18, 2017 11:50

dado um \epsilon \succ 0,existem infinitos \delta \succ 0(mostre isso) tal que:
para 0\prec \left|x-1 \right|\prec \delta0\prec \left|x-1 \right|\prec \delta,teremos sempre:
\left|{x}^{2}-1 \right|\prec \epsilon... de fato,
tomemos \left|{x}^{2}-1 \right|=\left|(x+1).(x-1) \right|\preceq \left|x+1 \right|.\left|x-1 \right|\prec \left|x+1 \right|.\delta...,temos por hipotese q. 0\prec\left|x-1 \right|\prec \delta\Rightarrow \left|x-1 \right|\preceq \left|x+1 \right| \preceq \left|x \right|+1 = \delta \Rightarrow \left|x \right|\prec \delta -1,\left|x \right|=\delta -1...,como devemos buscar sempre o valor minimo de \delta,podemos ter:
\left|{x}^{2}-1 \right|=\left|x+1 \right|.\delta\preceq (\left|x \right|+1).\delta[tex]=(\delta -1 +1).\delta={\delta}^{2}[/tex],tomaremos \epsilon={\delta}^{2}portanto:
\left|{x}^{2}-1 \right|\preceq \left|x+1 \right|.\left|x-1 \right|\prec {\delta}^{2}=\epsilon...
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Re: Continuidade em um ponto

Mensagempor elisafrombrazil » Sex Jan 20, 2017 10:12

Como chegar em \delta = min(1,\frac{1}{3}\epsilon) ?
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Re: Continuidade em um ponto

Mensagempor adauto martins » Sex Jan 20, 2017 16:41

se vc estudar o q. te indiquei vc vera q. 0\prec (\epsilon,\delta)\prec 1,sao intervalos q. contem o ponto em questao,ou seja o limite da funçao prox. ao ponto,qto menor for esse intervalo,no caso \delta,mais precisa sera a MEDIDA...entao:
\left|x \right|-1 \preceq \left|x-1 \right|\prec \delta\Rightarrow 
\left|x \right|\prec \delta+1...
\left|{x}^{2}-1 \right|=\left|x+1 \right|.\left|x-1 \right|\prec (\left|x \right|+1+1)\delta,agora podemos tomar valores prox. a x=1,e encontrar um \delta,q. satisfaça nossa MEDIDA(nao esqueça MEDIDA)...logo,(1+1+1)\delta=\epsilon \Rightarrow \delta=\epsilon/3...,como havia dito 0\prec (\epsilon,\delta)\prec 1,podemos tomar a menorMEDIDA, q. se encontra no intervalo
(\epsilon/3,1),uma MEDIDA melhor e mais precisa seria o intervalo ((\epsilon/n)n\rightarrow\infty,1)...
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Assunto: cálculo de limites
Autor: Hansegon - Seg Ago 25, 2008 11:29

Bom dia.

Preciso de ajuda na solução deste problema, pois só chego ao resultado de 0 sobre 0.
Obrigado

\lim_{x\rightarrow-1} x³ +1/x²-1[/tex]


Assunto: cálculo de limites
Autor: Molina - Seg Ago 25, 2008 13:25

\lim_{x\rightarrow-1} \frac{{x}^{3}+1}{{x}^{2}-1}

Realmente se você jogar o -1 na equação dá 0 sobre 0.
Indeterminações deste tipo você pode resolver por L'Hôpital
que utiliza derivada.
Outro modo é transformar o numerador e/ou denominador
para que não continue dando indeterminado.

Dica: dividir o numerador e o denominador por algum valor é uma forma que normalmente dá certo. :y:

Caso ainda não tenha dado uma :idea:, avisa que eu resolvo.

Bom estudo!


Assunto: cálculo de limites
Autor: Guill - Dom Abr 08, 2012 16:03

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{x^3+1}{x^2-1}

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{(x+1)(x^2-x+1)}{(x+1)(x-1)}

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{(x^2-x+1)}{(x-1)}=\frac{-3}{2}