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Continuidade em um ponto

Continuidade em um ponto

Mensagempor elisafrombrazil » Qua Jan 18, 2017 08:13

Mostre, pela definição formal de limites, que para f(x) = x², f(x) é contínua em x = 1,

\lim_{x \to 1} x^2 = 1
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Re: Continuidade em um ponto

Mensagempor adauto martins » Qua Jan 18, 2017 11:50

dado um \epsilon \succ 0,existem infinitos \delta \succ 0(mostre isso) tal que:
para 0\prec \left|x-1 \right|\prec \delta0\prec \left|x-1 \right|\prec \delta,teremos sempre:
\left|{x}^{2}-1 \right|\prec \epsilon... de fato,
tomemos \left|{x}^{2}-1 \right|=\left|(x+1).(x-1) \right|\preceq \left|x+1 \right|.\left|x-1 \right|\prec \left|x+1 \right|.\delta...,temos por hipotese q. 0\prec\left|x-1 \right|\prec \delta\Rightarrow \left|x-1 \right|\preceq \left|x+1 \right| \preceq \left|x \right|+1 = \delta \Rightarrow \left|x \right|\prec \delta -1,\left|x \right|=\delta -1...,como devemos buscar sempre o valor minimo de \delta,podemos ter:
\left|{x}^{2}-1 \right|=\left|x+1 \right|.\delta\preceq (\left|x \right|+1).\delta[tex]=(\delta -1 +1).\delta={\delta}^{2}[/tex],tomaremos \epsilon={\delta}^{2}portanto:
\left|{x}^{2}-1 \right|\preceq \left|x+1 \right|.\left|x-1 \right|\prec {\delta}^{2}=\epsilon...
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Re: Continuidade em um ponto

Mensagempor elisafrombrazil » Sex Jan 20, 2017 10:12

Como chegar em \delta = min(1,\frac{1}{3}\epsilon) ?
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Re: Continuidade em um ponto

Mensagempor adauto martins » Sex Jan 20, 2017 16:41

se vc estudar o q. te indiquei vc vera q. 0\prec (\epsilon,\delta)\prec 1,sao intervalos q. contem o ponto em questao,ou seja o limite da funçao prox. ao ponto,qto menor for esse intervalo,no caso \delta,mais precisa sera a MEDIDA...entao:
\left|x \right|-1 \preceq \left|x-1 \right|\prec \delta\Rightarrow 
\left|x \right|\prec \delta+1...
\left|{x}^{2}-1 \right|=\left|x+1 \right|.\left|x-1 \right|\prec (\left|x \right|+1+1)\delta,agora podemos tomar valores prox. a x=1,e encontrar um \delta,q. satisfaça nossa MEDIDA(nao esqueça MEDIDA)...logo,(1+1+1)\delta=\epsilon \Rightarrow \delta=\epsilon/3...,como havia dito 0\prec (\epsilon,\delta)\prec 1,podemos tomar a menorMEDIDA, q. se encontra no intervalo
(\epsilon/3,1),uma MEDIDA melhor e mais precisa seria o intervalo ((\epsilon/n)n\rightarrow\infty,1)...
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Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 10:38

Olá ! Tenho essa dúvida e não consigo montar o problema para resolução:

Qual é o racional não nulo cujo o quadrado é igual à sua terça parte ?

Grata.


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: MarceloFantini - Sex Fev 18, 2011 12:27

x^2 = \frac{x}{3}


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 12:55

também pensei que fosse assim, mas a resposta é \frac{1}{3}.

Obrigada Fantini.


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: MarceloFantini - Sex Fev 18, 2011 13:01

x^2 = \frac{x}{3} \Rightarrow x^2 - \frac{x}{3} = 0 \Rightarrow x \left(x - \frac{1}{3} \right) = 0

Como x \neq 0:

x - \frac{1}{3} = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3}

O que você fez?


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 16:17

eu só consegui fazer a igualdade, não consegui desenvolver o restante, não pensei em fatoração, mas agora entendi o que vc fez.

Obrigada.