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[Cálculo] Integral de linha

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Mensagempor pedro22132938 » Sex Dez 30, 2016 01:28

O exercicio pede o calculo da integral de linha onde,\int_{}^{}y^2dx +xdy - dz e \gamma é a poligonal de vértices A0 = (0,0,0), A1=(1,1,1) e A2=(1,1,0), orientada de A0 para A2.

Parametrizei a curva gama, mas ao calcular a integral por partes, cheguei ao resultado 0, porém ao verificar a solução está 5/6. Alguém consegue chegar ao resultado e mostrar-me como?
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Re: [Cálculo] Integral de linha

Mensagempor adauto martins » Dom Jan 01, 2017 14:32

vamos calcular a integral pelos caminhos {C}_{1},{C}_{2},
{C}_{1}:{A}_{0}\rightarrow {A}_{1},temos que:
0 \preceq x \preceq 1...0\preceq y \preceq 1...0\preceq z\preceq 1...


dx=dy  \Rightarrow \int_{{A}_{0}}^{{A}_{1}}(({x}^{2}+x))dx-dz)\int_{0}^{1}({x}^{2}+x)dx-\int_{0}^{1}dz=(({x}^
{3}/3)+({x}^{2}/2)[0,1]-z[0,1]=(1/3)+(1/2)-1=-1/6...

{C}_{2}:{A}_{1}\rightarrow {A}_{2},temos:


x=y=1\Rightarrow dx=dy=0......0\preceq z \preceq 1sentido negativo,logo:

\int_{{A}_{1}}^{{A}_{2}}(-dz)=[tex]\int_{0}^{1}-dz=\int_{1}^{0}dz=z[1,0]=1......logo o valor da integral sera a soma dos caminhos{C}_{1}+{C}_{2},ou seja:I=(-1/6)+1=5/6...
se tomarmos o caminho {C}_{3},ou seja {C}_{3}:{A}_{2}\rightarrow {A}_{0},teriamos o valor da integral igual a zero,ou seja:
{C}_{1}+{C}_{2}+{C}_{3}\Rightarrow I=0...,fechariamos a linha poligonal...
de fato:




{C}_{3}:{{{A}_{2}}\rightarrow {{A}_{0}}

z=0,dz=0...-dx=-dy,tanto x,y variara negativamente:

\int_{{A}_{2}}^{{A}_{0}}-({x}^{2}+x)dx=-(({x}^{3}/3)+({x}^{2}/2)[(1,1,0),(0,0,0)]=-((1/3)+(1/2)=-5/6...
I=(-1/6)+1-(5/6)=0...
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Re: [Cálculo] Integral de linha

Mensagempor pedro22132938 » Seg Jan 02, 2017 00:29

Então, minha resposta está correta? De fato é 0 o resultado, pois tenho que fechar a poligonal não?
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Re: [Cálculo] Integral de linha

Mensagempor adauto martins » Seg Jan 02, 2017 15:14

meu caro pedro,
sua resposta esta incorreta,pois vc usando o metodo de parametrizaçao deva ter fechado a poligonal...
a integral de linha mede a area abaixo da curva(caminho,linha,interseçao de superficies e etc...) em relaçao a um dos planos X0Y,X0Z,Y0Z...é como na integral de uma variavel,I=\int_{a}^{b}f(x)dx=A(x)......metodo da poligonal fechado tem seu uso no calculo de integraçao de variaveis compelexas,calculo do numero de residuos em um compacto qquer...entao é isso...
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Autor: Alucard014 - Dom Ago 01, 2010 18:22

(UNESP - 95) Seja L o Afixo de um Número complexo a=\sqrt{8}+ i em um sistema de coordenadas cartesianas xOy. Determine o número complexo b , de módulo igual a 1 , cujo afixo M pertence ao quarto quadrante e é tal que o ângulo LÔM é reto.


Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: MarceloFantini - Qui Ago 05, 2010 17:27

Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.